格林公式怎么挖掉奇點(diǎn) 利用格林公式計(jì)算
用高斯公式、格林公式 怎么補(bǔ)面?挖洞?關(guān)于格林公式的一些問(wèn)題,格林公式要求是單連通區(qū)域,對(duì)飛單連通區(qū)域要求去掉奇點(diǎn)。但是去掉奇點(diǎn)的那個(gè)小區(qū)域也不是單連通區(qū)域,利用格林公式計(jì)算,曲線(xiàn)積分計(jì)算星形線(xiàn)面積x=acos^3t,y=asin^3t.請(qǐng)問(wèn),用格林公式要不要挖去奇點(diǎn),使用格林公式時(shí),閉區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)怎么處理?《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)第六版)P205例4,為什么可以那么做?
本文導(dǎo)航
- 關(guān)于高斯公式挖奇點(diǎn)問(wèn)題
- 關(guān)于格林公式的一些問(wèn)題
- 格林公式要求是單連通區(qū)域,對(duì)飛單連通區(qū)域要求去掉奇點(diǎn)。但是去掉奇點(diǎn)的那個(gè)小區(qū)域也不是單連通區(qū)域
- 利用格林公式計(jì)算
- 曲線(xiàn)積分計(jì)算星形線(xiàn)面積x=acos^3t,y=asin^3t.請(qǐng)問(wèn),用格林公式要不要挖去奇點(diǎn)?
- 使用格林公式時(shí),閉區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)怎么處理?《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)第六版)P205例4,為什么可以那么做?
關(guān)于高斯公式挖奇點(diǎn)問(wèn)題
補(bǔ)面容易吧!取附近特殊的面,補(bǔ)成一個(gè)封閉的曲面就行了
關(guān)于格林公式的一些問(wèn)題
使用高斯公式的條件是積分函數(shù) P(x,y), Q(x,y) 在閉曲線(xiàn)圍成的
單連通域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。
本題在原點(diǎn)O(0,0),P(x,y), Q(x,y) 無(wú)定義,
更談不上在該點(diǎn)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),故不能用高斯公式。
為此,“挖掉”這個(gè)“奇點(diǎn)”,在如圖的環(huán)形域內(nèi),便可用高斯公式了。
至于計(jì)算最后的∮<l>(ydx-xdy)/[2(x^2+y^2)] 不用高斯公式(不能用),
而是分母的 x^2+y^2=r^2 與x,y無(wú)關(guān),直接可提到積分號(hào)外,即
...... = ∮<l>(ydx-xdy)/[2(x^2+y^2)]
= (1/2r^2)∫<0,2π>[rsintd(rcost)-rcostd(rsint)
= (1/2)∫<0,2π>[-(sint)^2-(cost)^2]dt
= (1/2)∫<0,2π>(-1)dt = -π.
格林公式要求是單連通區(qū)域,對(duì)飛單連通區(qū)域要求去掉奇點(diǎn)。但是去掉奇點(diǎn)的那個(gè)小區(qū)域也不是單連通區(qū)域
是啊,因?yàn)橐话闳〉男A,在積分中就可以把存在無(wú)定義點(diǎn)的函數(shù)塊用半徑表示,這樣就不存在無(wú)定義點(diǎn),即區(qū)域變?yōu)閱芜B通域
利用格林公式計(jì)算
掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件,會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。
1.格林公式 ;設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成,函數(shù)????,,,PxyQxy在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有
第三節(jié) ;格林公式及應(yīng)用 ;3.1 ;學(xué)習(xí)目標(biāo) ;掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件,會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù). ;3.2 ;內(nèi)容提要 ;1.格林公式 ;設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成,函數(shù)????,,,PxyQxy在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有
其中L是D的取正向的邊界曲線(xiàn).
【注】(1)格林公式揭示了二重積分與曲線(xiàn)積分的聯(lián)系.
(2)D可以是復(fù)連通區(qū)域.
(3)L為正向的封閉曲線(xiàn),P(x,y)、Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),兩者缺一不可.在利用格林公式計(jì)算曲線(xiàn)積分時(shí),若L不封閉,則考慮適當(dāng)補(bǔ)邊使之封閉;若在D內(nèi)函數(shù)有奇點(diǎn),應(yīng)考慮將奇點(diǎn)挖掉.
(4)當(dāng)P=-y,Q=x時(shí),可求出封閉曲線(xiàn)所圍區(qū)域的面積
2.平面上曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件
設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域,函數(shù)????P(x,y)、Q(x,y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則曲線(xiàn)積分
在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)(或沿G內(nèi)任意閉曲線(xiàn)的曲線(xiàn)積分為零)的充 要條件是
在G內(nèi)恒成立.
【注】若曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān),在進(jìn)行曲線(xiàn)積分的計(jì)算時(shí),可以在G內(nèi)選擇簡(jiǎn)單路徑,選擇折線(xiàn)是常用的方法。
3. ;典型例題與方法
基本題型I:利用格林公式求第二類(lèi)曲線(xiàn)積分
例1 ;填空題
曲線(xiàn)積分計(jì)算星形線(xiàn)面積x=acos^3t,y=asin^3t.請(qǐng)問(wèn),用格林公式要不要挖去奇點(diǎn)?
這一題不需要挖去奇點(diǎn)。
解:本題運(yùn)用了格林公式求解。
由圖形的對(duì)稱(chēng)性可以得知:
S=4∫(0→a)ydx
=4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
=12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt
=12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4-(sint)^6] dt
=12a^2[3/4*1/2*π/2-5/6*3/4*1/2*π/2]
=(3πa^2)/8
擴(kuò)展資料:
利用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的方法:
第一步:明確被積表達(dá)式中的P(x,y)和Q(x,y)函數(shù)(dx前面的函數(shù)為P(x,y),dy前面的函數(shù)為Q(x,y),如果有負(fù)號(hào),記得帶上負(fù)號(hào))。
第二步:計(jì)算Q(x,y)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù),P(x,y)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)。如果兩者之差比較簡(jiǎn)單且不等于0,則考慮使用格林公式計(jì)算曲線(xiàn)積分。
第三步:判定問(wèn)題中給出的條件是否滿(mǎn)足格林公式的三個(gè)條件:封閉性、方向性和偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。如果封閉性和偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性不滿(mǎn)足,則可以考慮通過(guò)添加輔助線(xiàn)的方式將積分曲線(xiàn)封閉起來(lái),或者將偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)隔離開(kāi)來(lái)。
然后使用格林公式在閉區(qū)域上計(jì)算二重積分。如果添加了輔助線(xiàn),則最終結(jié)果應(yīng)該用二重積分的結(jié)果減去輔助線(xiàn)上的曲線(xiàn)積分。
參考資料來(lái)源:百度百科- 格林公式
使用格林公式時(shí),閉區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)怎么處理?《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)第六版)P205例4,為什么可以那么做?
把奇點(diǎn)排除后,剩下的部分用格林公式,含奇點(diǎn)的只能用定義處理,再加起來(lái)就行了.
我沒(méi)書(shū),看不到題,你可以把題發(fā)給我,我替你看看,
你留下郵箱,我把解釋給你
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