實(shí)對(duì)稱矩陣怎么對(duì)角化 線性代數(shù)中，實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化解題思路是怎樣的？
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- 簡(jiǎn)單實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化
- 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化
- 二階矩陣對(duì)角化的方法
- 線性代數(shù)中，實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化解題思路是怎樣的？
- 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化是否可用以下幾個(gè)方法？
- 考研數(shù)學(xué)問(wèn)題:n階實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化
簡(jiǎn)單實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化
|A-λE| =
-λ 1
1 -λ
= λ^2-1
= (λ+1)(λ-1)
A的特征值為1,-1
A-E=
-1 1
1 -1
-->
1 -1
0 0
(A-E)x=0的基礎(chǔ)解系為 (1,1)^T
A+E=
1 1
1 1
(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系為 (1,-1)^T
令 P=
1 1
1 -1
則P可逆, 且 P^-1AP =
1 0
0 -1
實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化
這一般不是通過(guò)“驗(yàn)證”的方法做的，你按照施密特正交化法得到的就是正交的了，不需要驗(yàn)算
二階矩陣對(duì)角化的方法
可以，不過(guò)D的對(duì)角線上的元素是A的特征值，即是與A相似的對(duì)角矩陣
線性代數(shù)中，實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化解題思路是怎樣的？
一般是先求特征值，然后分別代入特征方程，解出基礎(chǔ)解系，得到特征向量
然后拼成可逆矩陣P，即可得到P^(-1)AP=D=diag(特征值)
實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化是否可用以下幾個(gè)方法？
必須單位化!
因?yàn)檎痪仃噋是由a的特征向量構(gòu)成的
而矩陣p是正交矩陣的充分必要條件是它的列(行)向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,
即兩兩正交且長(zhǎng)度為1.
所以必須單位化.
不對(duì).
單位化后得到的p才是正交矩陣.
ps.
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考研數(shù)學(xué)問(wèn)題:n階實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化
1.因?yàn)樘卣飨蛄拷?jīng)過(guò)施密特正交化之后不一定是原來(lái)矩陣(線性變換)的特征向量，也即在經(jīng)過(guò)正交化的基表示下不一定是對(duì)角的。在酉空間中，矩陣可以正交對(duì)角化的充要條件是矩陣滿足AA*=A*A
(A*是A的共軛轉(zhuǎn)置)
2.
這要從變換的角度來(lái)理解。左乘初等矩陣，是對(duì)行作初等變換，再右乘這個(gè)初等矩陣的轉(zhuǎn)置，是對(duì)列作“對(duì)稱”的初等變換，因?yàn)榫仃囀菍?duì)稱的，所以這樣做一定最后可以把它對(duì)角化。比如假設(shè)對(duì)稱矩陣(1,1)位置的元素不為0，先用行初等變換通過(guò)第一行把第三行的第一個(gè)元素消為0，那么再右乘這個(gè)變換對(duì)應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置后，則一定會(huì)把第三列的第一個(gè)元素消為0.
3這個(gè)是基本的證明，你可以參考吳泉水復(fù)旦大學(xué)《高等代數(shù)》
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