怎么證明泰勒不等式 泰勒不等式是什么？

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• 泰勒不等式是什么？

運(yùn)用泰勒公式證明不等式

此處給出一個(gè)當(dāng)[a,b]為[0,1]時(shí)的證明過(guò)程，很容易將其修改為[a,b]區(qū)間的證明，[a,b]的證明在此處輸入很不方便。

證明：將f(x)在 1/2 處展開得

證明：證明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)

f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0, x0)

由f(0)=f(1)可得

f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2

由于x0∈（0，1）時(shí)，x02+ (1-x0)2<=1，因此

Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ

f(x)在[0,1]上有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù),

所以 Ⅰf’’(ξ2)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ

Ⅰ(f’’(ξ1)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ

Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ<= 1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ( x0)^2+1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ(1-x0)^2=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ[x0^2+ (1-x0)^2]

<=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ

上式對(duì)一切x0∈（0，1）成立，由f’(x) 在[0,1]上的連續(xù)性知道，對(duì)一切x0∈（0，1），上式也成立，從而

max Ⅰf’(x)Ⅰ <= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ

怎么用泰勒公式證明不等式

。

注意f(x0)是常數(shù)，可以提到積分號(hào)之外，因此得到你劃線部分：。

注意f(x0)是常數(shù)，可以提到積分號(hào)之外，因此得到你劃線部分：。

泰勒公式不等式證明這一步為什么

證明：將f(x)在 1/2 處展開得

證明：證明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)

f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0,x0)

由f(0)=f(1)可得

f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2

由于x0∈（0,1）時(shí),x02+ (1-x0)2

泰勒級(jí)數(shù)證明不等式...

你泰勒展開，余項(xiàng)呢？沒(méi)寫余項(xiàng)你怎么得出來(lái)這個(gè)不等式的，二者相差高階無(wú)窮小。

泰勒不等式是什么？

泰勒公式，是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)。

泰勒公式得名于英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒，他在1712年的一封信里首次敘述了這個(gè)公式。泰勒公式是為了研究復(fù)雜函數(shù)性質(zhì)時(shí)經(jīng)常使用的近似方法之一，也是函數(shù)微分學(xué)的一項(xiàng)重要應(yīng)用內(nèi)容。

泰勒公式的余項(xiàng)有兩類：一類是定性的皮亞諾余項(xiàng)，另一類是定量的拉格朗日余項(xiàng)。這兩類余項(xiàng)本質(zhì)相同，但是作用不同。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)不需要定量討論余項(xiàng)時(shí)，可用皮亞諾余項(xiàng)（如求未定式極限及估計(jì)無(wú)窮小階數(shù)等問(wèn)題）；當(dāng)需要定量討論余項(xiàng)時(shí)，要用拉格朗日余項(xiàng)（如利用泰勒公式近似計(jì)算函數(shù)值）。