怎么理解坐標曲面積分 對坐標的曲面積分
對面積的曲面積分算的是面的質量，對坐標的曲面積分算的是啥，坐標面的對坐標的曲面積分，對坐標的曲面積分，對坐標的曲面積分的幾何意義是什么？ 就是第二類曲面積分的幾何意義？或者物理意義？對坐標的曲面積分有什么幾何意義嗎？怎么理解曲面積分中的上側下側,內側外側,左側右側,前側后側？
本文導航
- 對面積的曲面積分算的是面的質量，對坐標的曲面積分算的是啥？
- 坐標面的對坐標的曲面積分
- 對坐標的曲面積分
- 對坐標的曲面積分的幾何意義是什么？ 就是第二類曲面積分的幾何意義？或者物理意義？
- 對坐標的曲面積分有什么幾何意義嗎?
- 怎么理解曲面積分中的上側下側,內側外側,左側右側,前側后側?
對面積的曲面積分算的是面的質量，對坐標的曲面積分算的是啥？
## 第二類曲面積分
第二類曲面積分算的是一個通量，可以理解為通過一個曲面的量，舉個流體力學的例子：
水以速度向量v=(P,Q,R)嘩嘩嘩的流，現在有一張曲面Σ，計算單位時刻流過這張曲面的流量可以用Pdydz+Qdzdx+Rdxdy來計算
在電磁學中則可以表示電通量，磁通量等。
坐標面的對坐標的曲面積分
首先要告訴你一個題目外的：曲線積分與定積分,曲面積分與二重積分的區(qū)別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式,意思是在曲線上或曲面上進行積分的,而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz坐標上進行積分,所以要將第一類曲線積分,第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz坐標進行積分,另外既然給定了曲線或曲面方程,就可以根據方程把一個量表示成其他的兩個量的關系,因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的,所以要滿足給定的曲線或曲面的方程,所以各個量之間可以代換的,這個普通的定積分和二重積分不能這么做的……
第一類曲線積分：對線段的曲線積分,有積分順序,下限永遠小于上限……求解時米有第二類曲線積分簡單,需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式,進行積分,這個公式書里面有的,就是對參數求導,然后再表示成平分和的根式……
第二類曲線積分：對坐標的曲線積分,沒有積分順序,意思是積分上下限可以顛倒了……
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關系：可以用余弦進行代換,余弦值指的是線段的切向量,這個書本里面的,我就不寫了
第一類曲面積分：對面積的曲面積分,求解時要通過給定的曲面方程形式,轉化成x與y的形式,這個公式書里面也有的,就是求偏導吧?然后表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分：對坐標的曲線積分,這個簡單一些,好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯系：可以用余弦代換,但是這個余弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯系,方便你記憶：都是要轉化成在xyz坐標面上的積分,都是平方和的根式形式,但是第一類曲線積分是對參數求導,第一類曲面積分是求偏導,為何都是平方和的根式形式?原因是在微段或微面上用直線代替曲線,相當于正方體求對角線,你想想是不是,肯定要出現平方和的根式,你好好看看推導過程……
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關系：
第二類曲線積分如果封閉的話,可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話,可以用高斯公式進行化簡
對坐標的曲面積分
對坐標曲面積分的外側：閉合曲面為曲面外部的部位為曲面外側，開放曲面為曲面上部為外側。對坐標的曲線積分，就是第二類曲線坐標積分，它對投影有要求的，要分內側于外側，主要判斷方式就是對某兩個變量進行積分，其實就是在這兩個變量所確定的平面上投影，若規(guī)定了是內側還是外側，則以該規(guī)定的側面的外法線和兩變量確定的平面向垂直的坐標軸夾角，為鈍角則轉該面投影為負，為銳角則轉換為該面投影為正。設Σ為光滑曲面，函數f(x,y,z)在Σ上有定義，把Σ任意地分成n個小曲面Si,其面積設為ΔSi，在每個小曲面Si上任取一點(Xi,Yi,Zi) 作乘積f(Xi,Yi,Zi)ΔSi，并求和Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi，記λ=max(ΔSi的直徑) ， 若Σf(Xi,Yi,Zi)ΔSi當λ→0時的極限存在，且極限值與Σ的分法及取點（Xi,Yi,Zi）無關，則稱極限值為f（x,y,z）在Σ上對面積的曲面積分，也叫做第一類曲面積分。即為∫∫f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被積函數，Σ叫做積分曲面，dS叫做面積微元。
對坐標的曲面積分的幾何意義是什么？ 就是第二類曲面積分的幾何意義？或者物理意義？
第一型曲面積分物理意義來源于對給定密度函數的空間曲面，計算該曲面的質量。第二型曲面積分物理意義來源對于給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量。
設s為空間中的曲面，f(x,y,z)為定義在s上的函數．對曲面s作分割T，它把S分成n個可求面積的小曲面片S^i(i=1,...,n)，S^i的面積記為si，分割T的細度為
，在S^i上任取一點
, 若存在極限
且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限J為f(x,y,z)在S上的第一型曲面積分，記為
或者簡寫成
擴展資料：
第二型曲面積分的計算
設空間曲面S的方程為z=z(x,y)，
，其中
為曲面S在
平面上的投影域，函數
在曲面S上連續(xù)，如果
在
上有連續(xù)的一階偏導數，則有
物理意義
表示以
為空間流體的流速場，單位時間流經曲面
的總流量。
對坐標的曲面積分有什么幾何意義嗎?
對曲面二重積分是以曲面為頂,曲面在坐標面的投影為底的曲頂柱體,而三重就要具體問題具體分析,如果積的是體積元素,那得到的是該曲面在某個立體區(qū)域.
怎么理解曲面積分中的上側下側,內側外側,左側右側,前側后側?
理解曲面積分中的上側下側，內側外側，左側右側，前側后側：坐標軸的正方向就是它的右側，前側和上側，坐標軸反方向就是它的左側，后側和下側，法向量指向哪一側就說取這個曲面的這一側，比如說法向量指向曲面上側就說取這個曲面的上側。
想象有一個碗放在桌子上，開口向上，并建立直角坐標系；桌子平面為z=0，平面；碗里面的面為上側曲面；向桌面投影后面積為正值，投影面就是一個圓；碗外面的面為下側曲面；向桌面投影后面積為負值。
引例
先看一個例子：設有一曲線形構件占xOy面上的一段曲線 ，設構件的密度分布函數為ρ(x,y)，設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續(xù)，求構件的質量。對于密度均勻的物件可以直接用ρV求得質量；對于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。
