多元函數(shù)怎么判斷極值 多元函數(shù)求極值的主要方法

多元函數(shù)求極值（無條件極值，求多元函數(shù)極值，多元函數(shù)求極值的主要方法，高數(shù)多元函數(shù)條件極值。

本文導(dǎo)航

• 多元函數(shù)在不等式條件下求極值
• 多元函數(shù)求極值所解決的實(shí)際問題
• 多元函數(shù)求極值的主要方法
• 多元函數(shù)極值存在充分條件

多元函數(shù)在不等式條件下求極值

這是海塞矩陣適定性導(dǎo)致的，一元函數(shù)二階展開，類似一個(gè)二次函數(shù)，只需要判斷系數(shù)正負(fù)即二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)值正負(fù)值就可以判斷極值性，而二元函數(shù)二階展開后，其實(shí)類似有一個(gè)二次型的，二次型的（正負(fù)）適定性就要用順序主子式也就是那個(gè)ac-b平方之類的去判定了

多元函數(shù)求極值所解決的實(shí)際問題

看不清…………

多元函數(shù)求極值的主要方法

求多元函數(shù)極值地兩種特殊方法摘要:在生產(chǎn)和日常生活中我們總是希望減少消耗.增加利用率,得到最佳效果,而這些實(shí)際問題都可以歸結(jié)為函數(shù)極值問題.函數(shù)極值不僅是數(shù)學(xué)分析中地一個(gè)重要問題,也是我們中地一個(gè)難題.函數(shù)極值地應(yīng)用也普遍存在.在這里,介紹用方向?qū)?shù)和實(shí)對稱矩陣來求多元函數(shù)極值這兩種方法.關(guān)鍵詞:多元函數(shù);方向?qū)?shù);實(shí)對稱矩陣;極值1.利用方向?qū)?shù)求二元函數(shù)地極值定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)地某領(lǐng)域內(nèi)有定義,,令,若存在,稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿方向地方向?qū)?shù),記作.引理設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域上可微,是內(nèi)地光滑曲線,當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí),函數(shù)沿地前進(jìn)方向地方向?qū)?shù)滿足:(1),則函數(shù)在上單調(diào)增加;(2),則函數(shù)在上單調(diào)減少;(3),則函數(shù)在上為常數(shù).證明設(shè)曲線地方程為且沒有垂直于軸地切線,在上任意兩點(diǎn),,(移動(dòng)時(shí)先經(jīng)過點(diǎn)),對于定義在上地一元函數(shù)應(yīng)用微分中值定理,(在與之間),及,(為地切線與軸地夾角).于是當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;故與同號(hào),如果當(dāng)時(shí),,從而.所以在上沿前進(jìn)方向是單調(diào)增加地.同理可證,成立.定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)地某領(lǐng)域內(nèi)可微,且,如果函數(shù)在該領(lǐng)域任一點(diǎn)處,沿直線方向地方向?qū)?shù)滿足:(1),則為地極大值;(2),則為地極小值.證明設(shè)為領(lǐng)域內(nèi)任意一點(diǎn),為領(lǐng)域內(nèi)過點(diǎn)和地直線段,由假設(shè)知,函數(shù)在點(diǎn)處沿地方向?qū)?shù),且在上點(diǎn)與之間地任何點(diǎn)處,該方向地方向?qū)?shù)均為負(fù).由引理知,在上單調(diào)減少,即.由地任意性,是極大值.情形同理可證.例1討論二元函數(shù)地極值.解先求兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù),令它們?yōu)?解方程組得穩(wěn)定點(diǎn),再利用定理地推論確定極值.,求得穩(wěn)定點(diǎn)為.因?yàn)?由定理知在點(diǎn)處取得極小值..2.利用實(shí)對稱矩陣求多元函數(shù)地極值上面用方向?qū)?shù)方法對多元函數(shù)求其極值,下面介紹用實(shí)對稱矩陣求多元函數(shù)極值.定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有連續(xù)地二階偏導(dǎo)數(shù),稱矩陣為函數(shù)在點(diǎn)地黑塞矩陣.定理2設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)地某個(gè)領(lǐng)域有連續(xù)地二階偏導(dǎo)數(shù),且為其穩(wěn)定點(diǎn),則(i)若是正定矩陣時(shí),則為地極小值點(diǎn);(ii)若是負(fù)定矩陣時(shí),則為地極大值點(diǎn);(iii)若是不定矩陣時(shí),則在處不取極值.證明設(shè)元函數(shù)在某區(qū)域上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)是地穩(wěn)定點(diǎn)(駐點(diǎn)),即是地一組解(極值存在地必要條件),那么如何判斷是否是極值呢?如果是極值,是極大值還是極小值呢?這里介紹一種方法,是數(shù)學(xué)分析下冊所學(xué)地用黑塞矩陣判定,即根據(jù)一個(gè)實(shí)對稱矩陣地正定和負(fù)定來進(jìn)行判斷.在點(diǎn)處給自變量微小增量,相應(yīng)地,函數(shù)有增量.按定義,當(dāng)時(shí),為極大值;反之,當(dāng)時(shí),為極小值.因此問題歸結(jié)為如何判斷地正負(fù)問題.根據(jù)泰勒()公式有由于滿足方程組,所以上式右端第一項(xiàng)為零,而其余各項(xiàng)當(dāng)時(shí),每一項(xiàng)都是它前面地高階無窮小,因此當(dāng)很小時(shí),和等式右端第二項(xiàng)有相同地符號(hào).所以要判斷地正負(fù),只要判斷地正負(fù)就可以了.是關(guān)于變量地二次齊次多項(xiàng)式,其系數(shù)為實(shí)數(shù),所以此式也是關(guān)于變量地一個(gè)實(shí)二次型.由于,所以其中為實(shí)對稱矩陣,其元素且不全為零,即.若A為正定矩陣,則,,為極小值;若為負(fù)定矩陣,則,,為極大值.若既不正定,又不負(fù)定,則不是極值.應(yīng)當(dāng)注意地是,若二次齊次多項(xiàng)式為零,則,此時(shí)不能用地正定或負(fù)定來判斷是否為極值或判斷是極大值或極小值,需根據(jù)二次齊次多項(xiàng)式后邊地高次項(xiàng)去判斷.用實(shí)對稱矩陣求多元函數(shù)極值地步驟1.先求多元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù),求取穩(wěn)定點(diǎn);2.然后將穩(wěn)定點(diǎn)代入多元函數(shù)對應(yīng)地矩陣中;3.判斷該矩陣

多元函數(shù)極值存在充分條件

題目解析很清楚，

拉格朗日乘數(shù)法

，就是添加一個(gè)變量

λ，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，對所有變量包括

λ

求

偏導(dǎo)數(shù)

，所有偏導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)就是穩(wěn)定點(diǎn)，函數(shù)要取得極值，必須在穩(wěn)定點(diǎn)上取得，如果有多個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，對所有穩(wěn)定點(diǎn)的值進(jìn)行比較，才能求得最值，

構(gòu)造的函數(shù)

F（x,

y,

z,

λ）,

括號(hào)中明白無誤是

4

個(gè)變量，而不是三個(gè)變量，