方向?qū)?shù)的梯度是什么 方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際生活應(yīng)用
數(shù)學(xué)高手 我應(yīng)該怎么理解梯度和方向?qū)?shù)的含義？大一高數(shù)中的梯度和方向?qū)?shù)應(yīng)該如何理解？如何直觀形象的理解方向?qū)?shù)與梯度以及它們之間的關(guān)系？方向?qū)?shù)和梯度不太明白，請問梯度和方向?qū)?shù)間的區(qū)別，高數(shù)中對梯度和方向?qū)?shù)的定義。
本文導(dǎo)航
- 方向?qū)?shù)與梯度公式
- 為什么方向?qū)?shù)為0時與梯度垂直
- 梯度的定義及方向?qū)?shù)的關(guān)系
- 用梯度來求方向?qū)?shù)
- 方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際生活應(yīng)用
- 梯度與方向?qū)?shù)關(guān)系公式
方向?qū)?shù)與梯度公式
通常的導(dǎo)數(shù) 不妨看做沿著 X軸或者y軸或者z軸的趨勢 （也就是關(guān)于它們的偏導(dǎo)數(shù)） 而 方向?qū)?shù) 可以看作沿著任意方向的趨勢
當(dāng)然這樣說 是為了好理解
從定義上看 兩者還是有很大不同的 方向?qū)?shù) 是在射線上定義的
而通常的偏導(dǎo)數(shù)是在直線上定義的
梯度就是方向?qū)?shù)增大的最快的方向 是一個向量
為什么方向?qū)?shù)為0時與梯度垂直
通常的導(dǎo)數(shù) 不妨看做沿著 X軸或者y軸或者z軸的趨勢 （也就是關(guān)于它們的偏導(dǎo)數(shù)） 而 方向?qū)?shù) 可以看作沿著任意方向的趨勢
當(dāng)然這樣說 是為了好理解
從定義上看 兩者還是有很大不同的 方向?qū)?shù) 是在射線上定義的
而通常的偏導(dǎo)數(shù)是在直線上定義的
梯度就是方向?qū)?shù)增大的最快的方向 是一個向量
梯度的定義及方向?qū)?shù)的關(guān)系
簡單的理解，在三維坐標(biāo)系中，三個坐標(biāo)軸都有方向?qū)?shù)，是分別對x,y,z的偏導(dǎo)數(shù)?f/?x,?f/?y,?f/?z，而梯度，則是一個向量，是對三個坐標(biāo)軸偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的向量，即梯度=(?f/?x,?f/?y,?f/?z)。
用梯度來求方向?qū)?shù)
當(dāng)然有區(qū)別。方向?qū)?shù)是數(shù)值，而梯度是向量，表達(dá)式也完全不一樣。自己翻翻書，如何？
方向?qū)?shù)與梯度的實(shí)際生活應(yīng)用
定義我就不說了，你自己查一下書。
方向?qū)?shù)是函數(shù)沿各個方向的導(dǎo)數(shù)，梯度是一個向量，因此梯度本身是有方向的。
它們的關(guān)系主要有兩個：
1、函數(shù)在梯度這個方向的方向?qū)?shù)是最大的，換句話說，一個函數(shù)在各個方向都有方向?qū)?shù)，其中梯度這個方向的導(dǎo)數(shù)為最大；
2、函數(shù)方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模。
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梯度與方向?qū)?shù)關(guān)系公式
但，在(x0.y0)點(diǎn)出發(fā)的方向由無窮多個，那這時函數(shù)變化快慢就由方向?qū)?shù)來反映。
假如在所在的屋頂是一個曲面，你所在的地面就是定義域，你站在一點(diǎn)，頭上對應(yīng)屋頂一點(diǎn)，當(dāng)你要從這點(diǎn)離開時，屋頂?shù)母叨仁亲兇筮€是變小，變化的程度怎樣?這就是方向?qū)?shù)反映的。
梯度的方向是一個特定的方向，你往這個方向走屋頂就向最陡峭的方向，梯度的模反映陡峭到什么程度。
一元函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是反映函數(shù)在這點(diǎn)變化趨勢快慢的量，并且導(dǎo)數(shù)值是反映自變量由小變大時，函數(shù)值的增大趨勢。自變量由大到小變化時，函數(shù)值的增大趨勢是由負(fù)的導(dǎo)數(shù)值描述，這點(diǎn)很重要。
二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，本質(zhì)上就是一元函數(shù)z=f(x,y0)的導(dǎo)數(shù)，反映曲面上的一條平面曲線：
z=f(x,y)，y=y0,在點(diǎn)(x0.y0)這點(diǎn)沿著x由小到大的方向變化時，z=f(x,y0)的變化快慢。
顯然，對二元函數(shù)而言，兩個偏導(dǎo)數(shù)，只是反映了在點(diǎn)(x0.y0)沿著坐標(biāo)軸方向上，函數(shù)變化快慢，坐標(biāo)軸的反向變化情況，是由負(fù)的偏導(dǎo)數(shù)反映。
緊接著的問題是，沿著任意方向的方向?qū)?shù)都存在，偏導(dǎo)數(shù)不一定存在。因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在要求沿著坐標(biāo)軸正向的與反向的方向?qū)?shù)必須是絕對值相等符號相反才成。
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