數(shù)列的上極限怎么求 數(shù)列怎么求極限

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本文導(dǎo)航

• 數(shù)列怎么求極限
• 數(shù)列的上極限和下極限
• 總結(jié)求函數(shù)（數(shù)列）極限的方法
• 怎樣求一個(gè)數(shù)列的極限
• 怎么求一個(gè)數(shù)列的極限點(diǎn)?
• 數(shù)列的極限怎么求?如圖

數(shù)列怎么求極限

你的題目在哪里？

實(shí)際上和求函數(shù)的極限值類(lèi)似

首先看是不是趨于無(wú)窮大

或者直接得到數(shù)字

如果無(wú)法確定是具體數(shù)或是無(wú)窮大

那么就是不定式類(lèi)型

把式子化為0/0或者∞/∞

使用洛必達(dá)法則，分子分母同時(shí)求導(dǎo)

直到得到結(jié)果

數(shù)列的上極限和下極限

如果數(shù)列收斂，那么它的上極限=下極限=極限

舉個(gè)例子，數(shù)列1/n,極限為0，上下極限均為0

而數(shù)列a.2n=1，a.2n+1=1/n,它的極限不存在，但是存在上下極限，上極限為1，下極限為0

總結(jié)求函數(shù)（數(shù)列）極限的方法

求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式：

　　★抽象數(shù)列求極限

　　這類(lèi)題一般以選擇題的形式出現(xiàn)，因此可以通過(guò)舉反例來(lái)排除。此外，也可以按照定義、基本性質(zhì)及運(yùn)算法則直接驗(yàn)證。

　　★求具體數(shù)列的極限

　　a.可以參考以下幾種方法：

　　首先,用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性，進(jìn)而確定極限存在性；其次，通過(guò)遞推關(guān)系中取極限，解方程，

從而得到數(shù)列的極限值.。

　　b.利用函數(shù)極限求數(shù)列極限

　　如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例，形如，則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限,此時(shí)再用洛必達(dá)法則求解。

　　★求n項(xiàng)和或n項(xiàng)積數(shù)列的極限，主要有以下幾種方法：

　　a.利用特殊級(jí)數(shù)求和法

　　如果所求的項(xiàng)和式極限中通項(xiàng)可以通過(guò)錯(cuò)位相消或可以轉(zhuǎn)化為極限已知的一些形式，那么通過(guò)整理可以直接得出極限結(jié)果。

　　b.利用冪級(jí)數(shù)求和法

　　若可以找到這個(gè)級(jí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)，則可以利用冪級(jí)數(shù)函數(shù)的方法把它所對(duì)應(yīng)的和函數(shù)求出，再根據(jù)這個(gè)極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值。

　　c.利用定積分定義求極限

　　若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子,剩余的項(xiàng)可用一個(gè)通項(xiàng)表示，則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限。

　　d.利用夾逼定理求極限

　　若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子，剩余的項(xiàng)不能用一個(gè)通項(xiàng)表示，但是其余項(xiàng)是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。

　　e.求n項(xiàng)數(shù)列的積的極限，一般先取對(duì)數(shù)化為項(xiàng)和的形式，然后利用求解項(xiàng)和數(shù)列極限的方法進(jìn)行計(jì)算。

怎樣求一個(gè)數(shù)列的極限

1.認(rèn)識(shí)數(shù)列極限的定義及性質(zhì)。即最終數(shù)列發(fā)展到第無(wú)限項(xiàng)的時(shí)候，數(shù)列的數(shù)值是歸于一個(gè)固定數(shù)的。

2.了解證明數(shù)列極限的基本方法。主要是通過(guò)數(shù)列的子數(shù)列進(jìn)行證明。

3.學(xué)習(xí)例題，看題干解問(wèn)題。主要看數(shù)列的定義和相關(guān)關(guān)于數(shù)列的題設(shè)

4.利用定義來(lái)證明數(shù)列的極限。注意！只能利用定義來(lái)進(jìn)行求取和證明，不可通過(guò)性質(zhì)。

5.檢查解答過(guò)程，發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程中的問(wèn)題進(jìn)行修改。保證問(wèn)題解決！

數(shù)列極限定義

設(shè){Xn}為實(shí)數(shù)列，a為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有∣Xn-a∣<ε則稱(chēng)數(shù)列{Xn}收斂于a，定數(shù)a稱(chēng)為數(shù)列{Xn}的極限，并或Xn→a(n→∞)

讀作"當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，{Xn}的極限等于或趨于a".

若數(shù)列{Xn}沒(méi)有極限，則稱(chēng){Xn}不收斂，或稱(chēng){Xn}為發(fā)散數(shù)列.

該定義常稱(chēng)為數(shù)列極限的ε-N定義.

對(duì)于收斂數(shù)列有以下兩個(gè)基本性質(zhì)，即收斂數(shù)列的唯一性和有界性。

定理1:如果數(shù)列{Xn}收斂，則其極限是唯一的。

定理2:如果數(shù)列{Xn}收斂，則其一定是有界的。即對(duì)于一切n(n=1,2……)，總可以找到一個(gè)正數(shù)M，使|Xn|≤M。

怎么求一個(gè)數(shù)列的極限點(diǎn)?

1、泰勒公式

(含有e的x次方的時(shí)候

，尤其是含有正余旋

的加減的時(shí)候要

特變注意

！?。。。?/p>

2、面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法

取大頭原則

最大項(xiàng)除分子分母！?。。。。。。。。?！

看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單

?。。。。。。。。。?/p>

3、無(wú)窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，

尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)

可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了！??！

6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數(shù)是方程相除的形式

，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）

（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加

（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）

（對(duì)付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)

9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）

例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，

已知Xn的極限存在的情況下，

xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的

，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化

10

2

個(gè)重要極限的應(yīng)用。

這兩個(gè)很重要

！?。。。?duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值

。

地2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大

無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式

（地2個(gè)實(shí)際上是

用于

函數(shù)是1的無(wú)窮的形式

）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1

的時(shí)候要特別注意可能是用地2

個(gè)重要極限）

11

還有個(gè)方法

，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的?。。。。。。。。。。。。。?！

x的x次方

快于

x！

快于

指數(shù)函數(shù)

快于

冪數(shù)函數(shù)

快于

對(duì)數(shù)函數(shù)

（畫(huà)圖也能看出速率的快慢）

!!!!!!

當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候

他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了

12

換元法

是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，

但是換元會(huì)夾雜其中

13假如要算的話(huà)

四則運(yùn)算法則也算一種方法

，當(dāng)然也是夾雜其中的

14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，

就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒(méi)有辦法

走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮

轉(zhuǎn)化為定積分。

一般是從0到1的形式

。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用

證明單調(diào)性?。。。。?！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限

，

（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，

看見(jiàn)了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候

f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候

就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！?。。。?/p>

數(shù)列的極限怎么求?如圖

1、如果代入后，得到一個(gè)具體的數(shù)字，就是極限；

2、如果代入后，得到的是無(wú)窮大，答案就是極限不存在；

3、如果代入后，無(wú)法確定是具體數(shù)或是無(wú)窮大，就是不定式類(lèi)型。

例如；

L =lim(n->∞)∑(i:1->n) [ ( sin(iπbai/n))/(n+1) ]

S = sin(π/n) + sin(2π/n)+...+ sin(nπ/n)

2cos(π/n) . S = 2sin(π/n).cos(π/n) + 2sin(2π/n).cos(π/n)+...+ 2sin(nπ/n).cos(π/n)

= [sin(2π/n)+sin0] +[sin(2π/n)+sin(π/n)]+...+[sin((n+1)π/n)+sin((n-1)π/n)]

= sin0 + sin((n+1)π/n)+ 2S -sin(π/n) - sin(nπ/n)

2(cos(π/n)+1)S = sin((n+1)π/n) -sin(π/n)

= 2cos[(n+2)π/(2n)]sin(π/2)

=2cos[(n+2)π/(2n)]

=2cos(π/2+π/n)

S =cos(π/2+π/n) / (cos(π/n)+1)

L =lim(n->∞)∑(i:1->n) [ ( sin(iπ/n))/(n+1) ]

= lim(n->∞) S/(n+1)

= lim(n->∞) cos(π/2+π/n) / [(n+1)(cos(π/n)+1)]

=0

擴(kuò)展資料：

又因?yàn)棣攀侨我庑〉恼龜?shù)，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正數(shù)范圍，因此可用它們的數(shù)值近似代替ε。同時(shí)，正由于ε是任意小的正數(shù)，我們可以限定ε小于一個(gè)某一個(gè)確定的正數(shù)。

N的相應(yīng)性　一般來(lái)說(shuō)，N隨ε的變小而變大，因此常把N寫(xiě)作N(ε)，以強(qiáng)調(diào)N對(duì)ε的變化而變化的依賴(lài)性。但這并不意味著N是由ε唯一確定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么顯然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

參考資料來(lái)源：百度百科-極限