球坐標(biāo)三重積分怎么算 球面坐標(biāo)求三重積分

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• 高數(shù)?球面坐標(biāo)算三重積分
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• 球坐標(biāo)系下的三重積分是什么?

高數(shù);球面坐標(biāo)算三重積分

φ是r與z軸正向的傾角，

范圍

是[0，π]，當(dāng)

積分

區(qū)域是

球心

在原點(diǎn)的上半球域，

角φ的范圍自然是[0，π/2]，少了下半球域。

球面坐標(biāo)求三重積分

空間區(qū)域Ⅴ在球面r=1上的投影，必須是球面矩形，否則不能用本公式。2.確定屮1,屮2.看坐標(biāo)面屮=屮0，它是一個(gè)圓錐面,頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸為z軸,半頂角為屮0（圖也可從下面照片中找），讓屮0從0變到丌，就象一把直骨傘 從z的上半軸逐漸打開，開平，再反弓(向下的一個(gè)圓維面)，最后反弓的收到z的負(fù)半軸。在這個(gè)過程中，傘面與空間區(qū)域V接觸的范圍[屮1，屮2]即為所求。3.確定Q1,Q2.與上同理Q=Q0是個(gè)半平面，z軸是其邊，其與xy面的交是xy面的原點(diǎn)射線，射線的極角為Q0，Q0從0變到2丌，象一個(gè)門，門軸為z軸，轉(zhuǎn)了一圈，在這一過程中門與空間區(qū)域Ⅴ接觸的范圍[Q1,Q2]即為所求。4.確定r=r1(Q,屮),r=r2(Q,屮).在圖中畫一個(gè)帶箭頭的原點(diǎn)射線穿向空間區(qū)域Ⅴ，穿入（或出）面為內(nèi)（或外）面，設(shè)其方程為F(x,y,z)=0，將球變換代入此方程得到一個(gè)只含r，Q，屮的的等式，解出r=一個(gè)只含Q，屮的式子，這個(gè)式子就是r=r1(Q,屮);同理可由外面得到r=r2(Q,屮 )。

下面用你給的題講如何使用上述公式：

接著講將三重積分化為柱坐標(biāo)系下的三次積分的方法：先使用直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分的先一(一重積分)后二(二重積分)公式或先二(二重積分)后一(一重積分)公式，再將其中的二重積分化為極坐標(biāo)下的二次積分，這樣就完成了將三重積分化為柱坐標(biāo)下的三次積分了。

所以下邊只需介紹這兩個(gè)公式：

一、先一后二公式：如空間區(qū)域Ⅴ在xy面上的投影為D，且圍?、跎希ɑ蛳拢┟娴姆匠虨閦=g(x,y)（或z=h(x,y)），則

∫∫∫(V)fdxdydz=∫∫(D)[∫(下限z=h(x,y);上限z=g(x,y))fdxdy]dz

此公式的關(guān)鍵口訣：含z方程上下面，無z消z圍D線。

二、先二后一公式：如空間區(qū)域Ⅴ在z軸上的投影為區(qū)間[c,d]，且過z軸上z點(diǎn)作平行于xy面的平面與Ⅴ的交是一個(gè)平面區(qū)域D(z)，則

∫∫∫(V)fdxdydz=∫(下限c;上限d)[∫∫(D(z))fdxdy]dz

此公式的關(guān)鍵口訣：圍D(z)的曲線方程就是圍Ⅴ的曲面方程（只不過把z看成常數(shù)

球坐標(biāo)系下的三重積分是什么?

球坐標(biāo)中是這樣表示空間中一點(diǎn)的：

用ρ表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，0≤ρ≤+∞，在ρz平面上，從z軸正半軸向ρ偏轉(zhuǎn)的角度是φ，0≤φ≤π，從x軸偏轉(zhuǎn)到平面的角度是θ，0≤θ≤2π。

被稱作球坐標(biāo)的原因是，如果固定了ρ＝a作為半徑，通過移動(dòng)ρ就可以得到一個(gè)球面，φ就是ρ的南北朝向，0°≤φ< 90°，ρ朝北，90°<φ≤180°，ρ朝南。

直角坐標(biāo)系法

適用于被積區(qū)域Ω不含圓形的區(qū)域，且要注意積分表達(dá)式的轉(zhuǎn)換和積分上下限的表示方法：

⑴先一后二法投影法，先計(jì)算豎直方向上的一豎條積分，再計(jì)算底面的積分。

①區(qū)域條件：對積分區(qū)域Ω無限制。

②函數(shù)條件：對f（x,y,z）無限制。