矩陣對(duì)角化是什么意思 矩陣相似對(duì)角化步驟

關(guān)于矩陣相似對(duì)角化的概念問(wèn)題！，一個(gè)矩陣可以對(duì)角化是不是就是說(shuō)這個(gè)矩陣是對(duì)角矩陣，矩陣可對(duì)角化的重要條件是什么？正交對(duì)角化是什么意思？和普通的對(duì)角化又啥區(qū)別？研究矩陣的相似對(duì)角化的意義，什么叫對(duì)角化？

本文導(dǎo)航

• 矩陣相似對(duì)角化步驟
• 矩陣可對(duì)角化的兩個(gè)必要條件
• 對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的條件
• 對(duì)角化的計(jì)算步驟
• 怎么判斷一個(gè)矩陣相似對(duì)角化
• 對(duì)角化與秩的關(guān)系

矩陣相似對(duì)角化步驟

能夠相似對(duì)角化有兩種可能

第一種：有N個(gè)不同的特征值

第二種：有相同的特征值，N重特征值有N個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

兩種情況合二為一就是：有N個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

所以說(shuō)，A可相似對(duì)角化的話，n階方陣A的n個(gè)特征值不一定全都不相等，可能包含有重根在里面。

“可是A有n個(gè)互不相等的特征向量，也能推出A可相似對(duì)角化。但是！反過(guò)來(lái)就不行了.....”

不明白你的意思

矩陣可對(duì)角化的兩個(gè)必要條件

不能這么說(shuō)的

除對(duì)角線上的元素外，其余的元素都是零的方陣，叫做對(duì)角矩陣。 這個(gè)是定義的

你說(shuō)的這個(gè)，只能說(shuō)明，它可對(duì)角化。

對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的條件

n階方陣可進(jìn)行對(duì)角化的重要條件是：

1、n階方陣存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

推論：如果這個(gè)n階方陣有n個(gè)不同的特征值,那么矩陣必然存在相似矩陣

2、如果階n方陣存在重復(fù)的特征值,則每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于該特征值的重

復(fù)次數(shù)。

擴(kuò)展資料

特征值是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念。在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。設(shè) A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量;x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個(gè)特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于（對(duì)應(yīng)于）特征值m的特征向量或本征向量，簡(jiǎn)稱A的特征向量或A的本征向量。

設(shè)A為n階矩陣，若存在常數(shù)λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特征值，x是A屬于特征值λ的特征向量。

A的所有特征值的全體，叫做A的譜，記為;

參考資料百度百科-特征值

.

對(duì)角化的計(jì)算步驟

正交對(duì)角化要求變換矩陣是正交矩陣，即在求特征值特征向量后要進(jìn)行施密特正交化。

一般對(duì)角化無(wú)需施密特正交化，只要求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量即可

怎么判斷一個(gè)矩陣相似對(duì)角化

理論上看，意義是明顯的。相似是一種等價(jià)關(guān)系，對(duì)角化相當(dāng)于對(duì)一類(lèi)矩陣在相似意義下給出了一種簡(jiǎn)單的等價(jià)形式，這對(duì)理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質(zhì)，比如特征多項(xiàng)式，特征根，行列式……如果只關(guān)心這類(lèi)性質(zhì)，那么相似的矩陣可以看作沒(méi)有區(qū)別的，這時(shí)研究一個(gè)一般的可對(duì)角化的矩陣，只要研究它的標(biāo)準(zhǔn)形式——一個(gè)對(duì)角矩陣就可以了。而對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)矩陣，研究起來(lái)非常方便。這個(gè)過(guò)程相當(dāng)于在一個(gè)等價(jià)類(lèi)中選取最順眼的元素研究。

另外，對(duì)角化突出了矩陣的特征值，而過(guò)度矩陣T反映了特征向量的信息，對(duì)角化過(guò)程的直觀意義還是很明顯的。再結(jié)合正交矩陣的概念，可以得到一些不平凡的結(jié)論，例如實(shí)對(duì)稱矩陣總可以對(duì)角化。

實(shí)踐中的矩陣對(duì)角化作用也很大。別的不說(shuō)，比如要算一個(gè)一般的3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的n次冪，n較大時(shí)，按矩陣乘法定義去計(jì)算是相當(dāng)繁瑣的，計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)型增長(zhǎng)。但是如果把A可以對(duì)角化(實(shí)對(duì)稱矩陣總是可以對(duì)角化的)，寫(xiě)為=T^(-1)PT,P是對(duì)角陣。那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的計(jì)算是很簡(jiǎn)單的，只要把各特征值^n即可，此時(shí)計(jì)算A^n的復(fù)雜度幾乎與n無(wú)關(guān)。

以上純屬個(gè)人見(jiàn)解，僅供LZ參考:)

對(duì)角化與秩的關(guān)系

設(shè)M為元素取自交換體K中的n階方陣，將M對(duì)角化，就是確定一個(gè)對(duì)角矩陣D及一個(gè)可逆方陣P，使M=PDP。設(shè)f為典范對(duì)應(yīng)于M的Kn的自同態(tài)，將M對(duì)角化，就是確定Kn的一個(gè)基，使在該基中對(duì)應(yīng)f的矩陣是對(duì)角矩陣。

對(duì)角矩陣是指只有主對(duì)角線上含有非零元素的矩陣，即，已知一個(gè)n×n矩陣 ，如果對(duì)于 ，則該矩陣為對(duì)角矩陣。如果存在一個(gè)矩陣 ，使 的結(jié)果為對(duì)角矩陣，則稱矩陣 將矩陣 對(duì)角化。對(duì)于一個(gè)矩陣來(lái)說(shuō)，不一定存在將其對(duì)角化的矩陣，但是任意一個(gè)n×n矩陣如果存在n個(gè)線性不相關(guān)的特征向量，則該矩陣可被對(duì)角化