極限的唯一性是什么 證明函數(shù)極限存在的充分條件
函數(shù)極限唯一性理解有問題,極限有唯一性質(zhì)嗎?什么意思呢?關(guān)于函數(shù)極限唯一性,極限的唯一性是什么意思?極限唯一性的證明是什么?怎么理解函數(shù)極限唯一性?每一個點不是都可以有一個極限嗎?函數(shù)正無窮和負無窮可以有兩個極限???
本文導航
證明函數(shù)極限存在的充分條件
極限的唯一性指的是:在某一個點處只能有一個極限。另一個點當然可以存在極限,它的極限也是唯一的,很多點都可能有極限,但是這個點只要一確定,極限也是確定的,不可能出現(xiàn)同一個點處兩個極限。
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極限是怎樣的概念
1、極限存在時,就唯一;
2、極限不存在時,就不唯一:
A、如果左右極限不相等,就有兩個極限;
B、如果是多元函數(shù),就有無數(shù)個極限;
C、極限為無窮大時,其實是不存在的,但是我們又自欺欺人地說極限等于無窮大。
這是我們矛盾的地方,一方面說極限為無窮大,極限不存在;另一方面,既然
不存在,又寫成極限等于無窮大。大家默認了這個矛盾說法,也就見怪不怪了。
3、極限是趨勢,是 tendency,是 trend,跟定義可能毫無關(guān)系,經(jīng)常是沒有定義。
例如,sinx/x,x不可以等于0,但是sinx/x在x趨向于0時的極限是存在的,是1。
所以,“那有沒有極限在領(lǐng)域中處處有定義這句話呀?” 沒有這樣的說法。
函數(shù)極限左右存在的條件
唯一,如果不唯一就不能稱之為極限。一般來說,只有某一特定的點會出現(xiàn)左右極限不一致的情況,那樣極限就不存在,也可以理解為極限不唯一。所謂不唯一,不是說有兩個,而是說連一個都沒有。唯一性是性質(zhì),就是說只要極限存在,就是唯一的,不可以能有多個的,如果有左右極限,不一致,那也不是有兩個極限,而是沒有極限。而趨于正無窮,要不就是沒極限(也就是極限趨于無窮),要不就是只有一個極限,也一樣不可能有兩個及兩個以上的極限.
極限的定義深度解析
簡單分析一下即可,答案如圖所示
怎么證明極限存在
證明:
假設(shè)存在a,b兩個數(shù)都是函數(shù)f(x)當x→x。的極限,且a<b,任意給定ε>0。
總存在一個δ1>0,當0<丨x-x。丨<δ1時,使得丨f(x)-a丨<ε成立。
上面的不等式可以等價變換為a-ε<f(x)<a+ε和b-ε<f(x)<b+ε。
b-ε≤a+ε,移項得:(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是一個確定大小的正數(shù),所以這個結(jié)論與極限的定義:ε可以任意小矛盾,所以假設(shè)不成立,因此不存在a,b兩個數(shù)都是f(x)的極限,除非a=b矛盾才不會出現(xiàn)。
N的相應(yīng)性
一般來說,N隨ε的變小而變大,因此常把N寫作N(ε),以強調(diào)N對ε的變化而變化的依賴性。但這并不意味著N是由ε唯一確定的:(比如若n>N使|xn-a|<ε成立,那么顯然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立)。重要的是N的存在性,而不在于其值的大小。
如何用定義證明函數(shù)的極限
函數(shù)極限唯一指的是函數(shù)在某個特定點的極限只有一個。
然后就像你說的每個點都可能存在一個極限,但是每個點就算有極限也只能有一個極限。
函數(shù)正無窮和負無窮是兩個極限,正無窮的極限是唯一的,負無窮的極限也是唯一的,這就是函數(shù)極限的唯一性。
搞好數(shù)學的方法:
1、數(shù)學跟其他學科一樣,也是有很多概念性的東西,學好數(shù)學的基礎(chǔ)就是明白定義到底說的是什么。
比如數(shù)學中的平方,立方,絕對值的含義。我們知道平方就是兩個相同的數(shù)相乘,當然立方就是三個相同的數(shù)相乘,絕對值就是大于或者等于0的數(shù)值,明白了定義的真正含義,也就走出了第一步,為后面的學習打下了堅實的基礎(chǔ)。
2、數(shù)學跟其他學科不同之處就是不需要死記硬背,因為數(shù)學不考試問答題,而是計算這是最大的不同。怎么實踐呢,具體的說一下。
數(shù)學的許多題都是從定義出發(fā)的,前面我說過,定義明白了,也就好下手了。比如合并同類項,先想定義,就是同類的項,簡單點就是都有的那個東西,明白了定義,然后下手做題,當然就事半功倍了。
3、前面我說過。數(shù)學不是背出來的,是用筆桿子算出來的。所以針對一個公式或者一個定義,只有把關(guān)于這個問題的題目多做上幾道,自然的就運用和真正理解了其中的意義。
因此對于數(shù)學,一定不要偷懶,只看不算,只有多動腦,多動手,這樣才會更加靈活的學好數(shù)學。
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