樣本方差為什么除n-1 概率的數(shù)學(xué)期望和方差

方差與樣本方差的區(qū)別？為什么方差是除以N，樣本方差是除以N-1？方差為什是是除以(n-1)而不是除以n啊，樣本方差為什么是n-1分之一？概率統(tǒng)計(jì)中計(jì)算樣本的方差，為什么除以n-1而不是除以n？樣本方差為什么除以n-1？

本文導(dǎo)航

• 樣本的方差和總體的方差的關(guān)系
• 和差的n次方公式
• 樣本方差是固定的嗎
• 概率的數(shù)學(xué)期望和方差
• 方差為什么要除以n減1

樣本的方差和總體的方差的關(guān)系

1.研究某隨機(jī)變量的方差，有無(wú)窮多個(gè)樣本，可以通過(guò)抽取一個(gè)樣本集，以它的方差作為該隨機(jī)變量方差的估計(jì)。

當(dāng)該樣本集的樣本數(shù)N趨于正無(wú)窮時(shí)，可以證明除以N－1才是無(wú)偏的，即收斂于該隨機(jī)變量的方差；除以N是有偏的。

因此采用無(wú)偏估計(jì)時(shí)除以N-1,而不是除以N。

2.僅研究某樣本集內(nèi)樣本數(shù)據(jù)的分散情況，除以N即可，這是方差原始的定義。

和差的n次方公式

這是為了達(dá)到對(duì)總體方差的無(wú)偏估計(jì)。你可以計(jì)算下樣本方差的期望值：

這樣，當(dāng)樣本數(shù)量足夠多時(shí)，樣本方差就可以逼近總體方差（因?yàn)槠淦谕强傮w方差）。也就是說(shuō)達(dá)到了總體方差的無(wú)偏估計(jì)。

【要分清樣本方差和總體方差的區(qū)別】

樣本方差是固定的嗎

為什么樣本方差的分母為n-1而不是n？

樣本方差與樣本均值，都是隨機(jī)變量，都有自己的分布，也都可能有自己的期望與方差（由此進(jìn)一步討論估計(jì)量的無(wú)偏性與有效性）。取分母n-1，可使樣本方差的期望等于總體方差，即這種定義的樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)。

這樣看，x1,x2,...xn是n個(gè)可以自由變化的樣本，互不影響。

而x1-xbar, x2-xbar,...xn-xbar是否也是n個(gè)自由變化的呢？不是……因?yàn)檫@n個(gè)統(tǒng)計(jì)量受到一個(gè)約束條件的影響就是之和等于0。如果我們記 yi=xi-xbar,也就是說(shuō)y1+y2+...yn=0,這樣我們可以任意變動(dòng)其中n－1值，比如取定了y1,y2,...y(n-1)，那么yn就不能任意變化，yn=-(y1+y2+y(n-1))。

這個(gè)只是從自由變化的角度直觀解釋，實(shí)際上證明分布比較煩瑣……

舉個(gè)例子：

比如說(shuō)讓十跟人任意取十個(gè)數(shù),很容易理解可以隨便取.十個(gè)都是自由的.

如果我加一個(gè)條件,十個(gè)人取十個(gè)數(shù),但是這是個(gè)書加起來(lái)必須得零.第一個(gè)人可以隨便取,第二個(gè)人也可以,第九個(gè)也可以,都是自由的,但是第十個(gè)人不能隨便自由取,只能取特定的數(shù),才能保證這十個(gè)數(shù)的和是零.所以加了一個(gè)條件就丟了一個(gè)自由度

由于有一個(gè)約束條件，所以最后一個(gè)變量不能隨便取。為了滿足這個(gè)約束條件，第n個(gè)變量不能隨機(jī)取值，它的值由前n-1個(gè)變量確定了。問(wèn)題是：雖然第n個(gè)變量不能隨機(jī)取，假設(shè)取10以滿足約束條件，但10與均值的離差仍然存在。分子中，包括了這個(gè)離差平方，但分母卻不考慮它。

是不是可以這樣理解：按照方差的“定義”，分母仍應(yīng)取n。只是為了保證無(wú)偏性，對(duì)樣本方差進(jìn)行調(diào)整。通過(guò)計(jì)算，分母應(yīng)當(dāng)取n-1。這時(shí)的方差實(shí)際是“調(diào)整后的樣本方差”，只不過(guò)我們?nèi)詫⑺凶觥皹颖痉讲睢薄?/p>

用樣本去估計(jì)總體，當(dāng)然就要評(píng)估估計(jì)的好壞如何。第一個(gè)評(píng)估方面就是先要評(píng)估這個(gè)估計(jì)是有偏估計(jì)還是無(wú)偏估計(jì)，無(wú)偏估計(jì)更為有效。除以n所得到的樣本方差雖然也是總體方差的估計(jì)量，但是不是無(wú)偏估計(jì)量，而除以n-1所得到的樣本標(biāo)準(zhǔn)方差則是無(wú)偏估計(jì)量。正因?yàn)槌詎-1所得到的樣本標(biāo)準(zhǔn)方差是總體的無(wú)偏估計(jì)，所以它更科學(xué)點(diǎn)，誤差小些。之所以選擇n-1，不是巧合，而是數(shù)學(xué)推導(dǎo)下的結(jié)果。

摘自ITPUB bestsong的博文：為什么樣本方差的分母為n-1而不是n？

概率的數(shù)學(xué)期望和方差

因?yàn)椴皇浅詎。

n-1時(shí)，和總體方差一樣，是總體方差的無(wú)偏估計(jì)。

樣本方差先求出總體各單位變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差的平方，然后再對(duì)此變量取平均數(shù)，就叫做樣本方差。樣本方差用來(lái)表示一列數(shù)的變異程度。樣本均值又叫樣本均數(shù)。即為樣本的均值。

在許多實(shí)際情況下，人口的真實(shí)差異事先是不知道的，必須以某種方式計(jì)算。 當(dāng)處理非常大的人口時(shí)，不可能對(duì)人口中的每個(gè)物體進(jìn)行計(jì)數(shù)，因此必須對(duì)人口樣本進(jìn)行計(jì)算。樣本方差也可以應(yīng)用于從該分布的樣本的連續(xù)分布的方差的估計(jì)。

擴(kuò)展資料：

n-1的使用稱為貝塞爾校正，也用于樣本協(xié)方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差（方差平方根）。 平方根是一個(gè)凹函數(shù)，因此引入負(fù)偏差（由Jensen不等式），這取決于分布，因此校正樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差（使用貝塞爾校正）有偏差。

標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)是一個(gè)技術(shù)上涉及的問(wèn)題，盡管對(duì)于使用術(shù)語(yǔ)n-1.5的正態(tài)分布，形成無(wú)偏估計(jì)。無(wú)偏樣本方差是函數(shù)?（y1，y2）=（y1-y2）2/2的U統(tǒng)計(jì)量，這意味著它是通過(guò)對(duì)群體的兩個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)平均得到的。

參考資料來(lái)源：百度百科——樣本方差

方差為什么要除以n減1

自由度的問(wèn)題。在n個(gè)中隨機(jī)選，選了n-1個(gè)，剩下的一個(gè)是確定的了，不能再選。所以除n-1,小生才疏學(xué)淺，還望拋磚引玉。嘿嘿，我們認(rèn)識(shí)不誒，mai生人

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