單調(diào)有界數(shù)列怎么判 怎么證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限？

什么是有界數(shù)列？怎么證明？如圖，如何證該數(shù)列是單調(diào)有界，并如何求極限？求解答？怎樣證明數(shù)列（1+1/n）^n是單調(diào)有界數(shù)列？怎么證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限？如何證明數(shù)列單調(diào)有界？高數(shù) 關(guān)于數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)則。

本文導(dǎo)航

• 有界數(shù)列是不是既有上界又有下界
• 如圖，如何證該數(shù)列是單調(diào)有界，并如何求極限？求解答～
• 怎樣證明數(shù)列（1+1/n）^n是單調(diào)有界數(shù)列
• 怎么證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限？
• 如何證明數(shù)列單調(diào)有界
• 數(shù)列的單調(diào)性介紹

有界數(shù)列是不是既有上界又有下界

定義：若存在兩個數(shù)A，B(設(shè)A<B)，數(shù)列 中的每一項都在閉區(qū)間[A，B]內(nèi)，亦即 ，則稱 為有界數(shù)列．這時A稱為它的下界，B稱為它的上界．關(guān)于有界數(shù)列有下面幾點說明．

(1)如果B是數(shù)列 的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是 的上界．這表明上界并不是惟一的，下界也是如此．

(2)對于數(shù)列 ，如果存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，總有 ,我們就說數(shù)列 往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，這是因為在N項之前只有有限多個數(shù) 在這有限個數(shù)中必有最大的數(shù)和最小的數(shù)，設(shè) ， 那么min(A，α)和max(B，β)就是整個數(shù)列 的下界和上界．

(3)有界數(shù)列也可以這樣敘述：若存在一個正數(shù)M，使得 ，就稱 是有界數(shù)列．或者也可以這么說，若存在原點O的一個M鄰域O(O，M)，使得所有 ，就稱 是有界數(shù)列，這種敘述和上面所給出的定義顯然是等價的．

證明數(shù)列的有界性,常用的方法是放縮法和數(shù)學(xué)歸納法。

另外畫圖.可以幫助你做一般題

或者根據(jù)題給出的部分條件,判斷是否單調(diào)什么的.沒發(fā)具體說方法.

收斂數(shù)列一定有界,但有界數(shù)列不一定有收斂

如圖，如何證該數(shù)列是單調(diào)有界，并如何求極限？求解答～

由通項公式知道an={（n+9）/（2n-1）}*a[n-1]={1/2+19/（4n-2）}*a[n-1]

當(dāng)n＞10時，an＜a[n-1]，

由此知，當(dāng)n＞10，該數(shù)列單調(diào)遞減，又由通項知，an＞0，所以an有界，

由單調(diào)有界性知其極限一定存在，

設(shè)此極限為b，則當(dāng)n趨于無窮大時等式b=b*{（n+9）/（2n-1）}成立

從而解得此極限為b=0

這道題還可以把an進行放大來求解，放大后看起來會簡單些，

放大后得到an的通項為an＜bn=（a10）*（1/2）^(n-10),由bn趨于0

可得an也趨于0，從而an的極限是0

至于放大那里，我就不詳細寫了，你自己去試試吧

怎樣證明數(shù)列（1+1/n）^n是單調(diào)有界數(shù)列

記Xn＝(1＋1/n)^n，按二項式定理展開：

Xn＝(1＋1/n)^n

＝1＋n/1!×1/n＋n(n-1)/2!×1/n^2＋n(n-1)(n-2)/3!×1/n^3＋.......＋n(n-1)(n-2)......*2*1/n!×1/n^n

＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]

X(n+1)＝[1＋1/(n+1)]^(n+1)

＝1 ＋ (n+1)/1!×1/(n+1) ＋ n(n+1)/2!×1/(n+1)^2 ＋ (n+1)n(n-1)/3!×1/(n+1)^3＋.......＋(n+1)n(n-1)(n-2)......*2/n!×1/(n+1)^n ＋ (n+1)n(n-1)(n-2)......*2*1/(n+1)!×1/(n+1)^(n+1)

＝1＋1＋1/2!×(1－1/(n+1))＋1/3!×(1－1/(n+1))(1－2/(n+1))＋......＋1/n!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)]＋1/(n+1)!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)][1－n/(n+1)]

X(n+1)比Xn多一項，且除了前面兩個1以外的其余每項都比Xn的對應(yīng)項小，所以Xn＜X(n+1)，所以數(shù)列{(1＋1/n)^n}單調(diào)

又

0＜Xn＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]

＜1＋1＋1/2!＋1/3!＋...＋1/n!

＜1＋1＋1/2＋1/2^2＋...＋1/2^(n-1)

＝3－1/2^n

＜3

所以，數(shù)列{(1＋1/n)^n}有界

怎么證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限？

同濟課本上對這個定理的說明是: 對于這個定理我們不做證明,只是給出它的在數(shù)軸上的幾何意義,你可以參看一下. 若要考試這個問題不會考定理證明的,而是要你先用證明某個數(shù)列的單調(diào)性,然后再證明這個數(shù)列的有界性,從而得出這個數(shù)列必是收斂的,也就是有極限存在, 然后在數(shù)列滿足的已知等式兩邊取極限假設(shè)為A,然后求方程解出A,這個A就是數(shù)列的極限值. 簡單的說,就是跟根據(jù)這個準(zhǔn)則然后尋找兩個條件從而說明極限的存在,然后算出極限值.

如何證明數(shù)列單調(diào)有界

假設(shè)x(k)<√3+1，則x(k+1)<√(3+√3+1)<√3+1，歸納可得x(n)<√3+1

數(shù)列的單調(diào)性介紹

單調(diào)有界準(zhǔn)則：

單調(diào)增函數(shù)有上界則有上確界，單調(diào)減函數(shù)有下界則有下確界。

若數(shù)列單調(diào)遞增有上界，或單調(diào)遞減有下界，則數(shù)列必存在極限。對于遞推類的數(shù)列經(jīng)常使用這一原則求極限（所謂遞推數(shù)列就是后一項是可以由前一項通過式子推出來的），在使用這個原則時一般包括兩個步驟：

1、證明數(shù)列有界(數(shù)學(xué)歸納法)，單調(diào)；

2、假設(shè)數(shù)列極限為A，通過遞推式兩端求極限建立關(guān)于A的方程，從而求出極限A。