可對(duì)角化矩陣長(zhǎng)什么樣 矩陣的可對(duì)角化條件
如何判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化？如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化？如何判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化？？可對(duì)角化的矩陣通常都有哪些。
本文導(dǎo)航
如何證明一個(gè)矩陣可以對(duì)角化
將矩陣A的特征多項(xiàng)式完全分解， 求出A的特征值及其重?cái)?shù)，若k重特征值都有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化。否則不能對(duì)角化。
舉例說(shuō)明：
看這個(gè)矩陣是否能對(duì)角化，暫且把這個(gè)定義成A矩陣。
需要用到一個(gè)公式，如下圖所示，我們這一步就是直接按照公式套入就可以了。
把上一步得到的結(jié)果進(jìn)行整理，結(jié)果是一個(gè)行列式。然后按照展開(kāi)法則進(jìn)行展開(kāi)。
得出這個(gè)算式的指，也就是這個(gè)行列式的特征根。
對(duì)這兩個(gè)根進(jìn)行討論，然后求出來(lái)基礎(chǔ)解系，然后我們根據(jù)基礎(chǔ)解系來(lái)判斷是否能夠進(jìn)行對(duì)角化。
如何快速看出一個(gè)矩陣能否對(duì)角化
1-存在可逆矩陣p,使得p-1Ap＝對(duì)角陣
2-有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量
3-最小多項(xiàng)式可分解為互素一次因式的乘積
4-初等因子都是一次的
5-每個(gè)特征值的重?cái)?shù)等于對(duì)應(yīng)特征子空間的維數(shù)
6-屬于不同特征值的特征子空間的維數(shù)之和等于n
7-存在一個(gè)零化多項(xiàng)式可分解成互素一次因式的乘積
矩陣的可對(duì)角化條件
n級(jí)矩陣a可對(duì)角化＜=＞a的屬于不同特征值的特征子空間維數(shù)之和為n.
實(shí)際判斷方法：（1）先求特征值,如果沒(méi)有相重的特征值,一定可對(duì)角化；
（2）如果有相重的特征值λk,其重?cái)?shù)為k,那么你通過(guò)解方程（λke-a）x=0得到的基礎(chǔ)解系中的解向量若也為k個(gè),則a可對(duì)角化,若小于k,則a不可對(duì)角化.
此外,實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化.
你可以對(duì)照課本上的例題或習(xí)題.
可對(duì)角化的矩陣通常都有哪些?
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