怎么理解曲面積分 第二類曲面積分是什么?

請(qǐng)教高人講解曲線積分和曲面積分（第一類第二類都要，關(guān)于曲線曲面積分的學(xué)習(xí)方法，第二類曲面積分，∑的上側(cè)下側(cè)是怎么理解，對(duì)應(yīng)的最后結(jié)果正負(fù)，不明白原理？曲面積分跟二重積分意義有什么不同？第二類曲面積分是什么？

本文導(dǎo)航

• 請(qǐng)教高人講解曲線積分和曲面積分（第一類第二類都要）
• 兩類曲線積分計(jì)算方法
• 第二類曲面積分，∑的上側(cè)下側(cè)是怎么理解，對(duì)應(yīng)的最后結(jié)果正負(fù)，不明白原理
• 曲面積分跟二重積分意義有什么不同？
• 第二類曲面積分是什么?

請(qǐng)教高人講解曲線積分和曲面積分（第一類第二類都要）

哥們給你都說了吧：

第一類曲線積分，可以通過將ds轉(zhuǎn)化為dx或dt變成定積分來做，但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關(guān)系，只有通過轉(zhuǎn)化為第二類曲線積分后，要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件，可以用公式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的曲面積分，再將曲面積分投影到坐標(biāo)面上轉(zhuǎn)化為二重積分來計(jì)算，這是第一類曲線積分和二重積分關(guān)系，但是第一類曲線積分和三重積分么有任何關(guān)系……

第一類曲面積分，可以通過公式變換，將dS轉(zhuǎn)化為dxdy，直接轉(zhuǎn)化為二重積分來做，但是和三重積分沒有任何關(guān)系，只有通過轉(zhuǎn)化為第二類曲面積分，滿足了高斯公式條件，才能用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分來計(jì)算

曲線積分與定積分，曲面積分與二重積分的區(qū)別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式，意思是在曲線上或曲面上進(jìn)行積分的，而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz坐標(biāo)上進(jìn)行積分，所以要將第一類曲線積分，第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz坐標(biāo)進(jìn)行積分，另外既然給定了曲線或曲面方程，就可以根據(jù)方程把一個(gè)量表示成其他的兩個(gè)量的關(guān)系，因?yàn)槭窃诮o定的曲線或曲面方程上進(jìn)行積分的，所以要滿足給定的曲線或曲面的方程，所以各個(gè)量之間可以代換的，這個(gè)普通的定積分和二重積分不能這么做的……

第一類曲線積分：對(duì)線段的曲線積分，有積分順序，下限永遠(yuǎn)小于上限……求解時(shí)米有第二類曲線積分簡(jiǎn)單，需要運(yùn)用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式，進(jìn)行積分，這個(gè)公式書里面有的，就是對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，然后再表示成平分和的根式……

第二類曲線積分：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，沒有積分順序，意思是積分上下限可以顛倒了……

第一類曲線積分和第二類曲線積分的關(guān)系：可以用余弦進(jìn)行代換，余弦值指的是線段的切向量，這個(gè)書本里面的，我就不寫了

第一類曲面積分：對(duì)面積的曲面積分，求解時(shí)要通過給定的曲面方程形式，轉(zhuǎn)化成x與y的形式，這個(gè)公式書里面也有的，就是求偏導(dǎo)吧？然后表示成平方和根式的形式

第二類曲面積分：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，這個(gè)簡(jiǎn)單一些，好好看看就可以了

兩類曲面積分的聯(lián)系：可以用余弦代換，但是這個(gè)余弦是曲面的法向量

下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯(lián)系，方便你記憶：都是要轉(zhuǎn)化成在xyz坐標(biāo)面上的積分，都是平方和的根式形式，但是第一類曲線積分是對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，第一類曲面積分是求偏導(dǎo)，為何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直線代替曲線，相當(dāng)于正方體求對(duì)角線，你想想是不是，肯定要出現(xiàn)平方和的根式，你好好看看推導(dǎo)過程……

第二類曲線積分與第二類曲面積分的關(guān)系：

第二類曲線積分如果封閉的話，可以用格林公式或斯托克斯公式化簡(jiǎn)

第二類曲面積分如果封閉的話，可以用高斯公式進(jìn)行化簡(jiǎn)

這些東西很有趣的，你要學(xué)會(huì)對(duì)應(yīng)的記憶啊……

格林公式研究的是把平面第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分來做，但是要注意正方向的選取，以及平面單連通和平面復(fù)連通，有時(shí)需要取輔助線構(gòu)成封閉曲線的，但是要計(jì)算輔助曲線的曲線積分，因?yàn)榇藭r(shí)的格林公式值是由兩條曲線疊加后產(chǎn)生的，這個(gè)很重要，因?yàn)榉e分與路徑無關(guān)都要涉及到平面復(fù)連通和單連通的計(jì)算……

兩類曲線積分計(jì)算方法

從概念上講，第一類的，都是和方向無關(guān)的，對(duì)標(biāo)量的積分。第二類的，都是和方向有關(guān)的，對(duì)某種意義上的矢量的積分。具體地說：第一類曲線積分是對(duì)長(zhǎng)度的積分，第二類曲線積分是對(duì)坐標(biāo)的積分，講究曲線上演某方向的變化了。第一類區(qū)面積分，是對(duì)面積的積分，第二類區(qū)面積分是對(duì)二維坐標(biāo)的積分，強(qiáng)調(diào)面積朝向某側(cè)的情況。 從計(jì)算上講，第一類的計(jì)算要求出長(zhǎng)度或者面積微元的表示式，因此計(jì)算公式似乎復(fù)雜，但是記住公式之后，因?yàn)椴挥每紤]方向，因此實(shí)際上簡(jiǎn)單。第二類的，不用考慮微元的表示式，直接就是對(duì)坐標(biāo)積分，形式上簡(jiǎn)單，不過，在具體到某個(gè)線或者面的時(shí)候，要考慮是否要根據(jù)方向的變化分成不同的小段，在每個(gè)方向一致的小段上，還要考慮正負(fù)號(hào)，是否為零等等，實(shí)際上相對(duì)麻煩許多。 關(guān)于這兩類積分（實(shí)際上是四類，不過我的稱呼是分別針對(duì)面，線來說）實(shí)際上都有統(tǒng)一的公式。兩類曲線積分可以通過方向余弦實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。兩類區(qū)面積分可以通過切面的法向量方向余弦實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。 此處的學(xué)習(xí)重點(diǎn)除了上述內(nèi)容之外，要特別注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。這些在某些專業(yè)中應(yīng)用更廣泛。

第二類曲面積分，∑的上側(cè)下側(cè)是怎么理解，對(duì)應(yīng)的最后結(jié)果正負(fù)，不明白原理

第二類曲面積分。

如果曲面的外法向和對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的正向一致，則第二類曲面積分轉(zhuǎn)為重積分時(shí)取正號(hào)，否則負(fù)號(hào)。

具體到圖中問題，由積分微元dxdy可知需要考察的是與z軸正向的關(guān)系（同理，∫∫dydz則考慮與x軸正向的關(guān)系），題中指明曲面是下側(cè)，其法向如圖中向下箭頭所示，顯然與z的正方向相反，于是結(jié)果取負(fù)號(hào)。

擴(kuò)展資料：

第一型曲面積分物理意義來源于對(duì)給定密度函數(shù)的空間曲面，計(jì)算該曲面的質(zhì)量。第二型曲面積分物理意義來源對(duì)于給定的空間曲面和流體的流速，計(jì)算單位時(shí)間流經(jīng)曲面的總流量。

當(dāng)動(dòng)線作不規(guī)則運(yùn)動(dòng)時(shí)，形成的曲面稱為不規(guī)則曲面。形成曲面的母線可以是直線，也可以是曲線。

同一個(gè)曲面可能由幾種不同的運(yùn)動(dòng)形式形成。如圓柱面，即可以看做是直線繞著與之平行的軸線做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而成，也可以看做是一個(gè)圓沿軸向平移而形成的。

參考資料來源：百度百科--曲面積分

曲面積分跟二重積分意義有什么不同？

曲面積分跟二重積分意義有什么不同，二重積分的積分區(qū)域是二維的平面，第一類曲面積分的積分區(qū)域是三維的曲面。升維or降維的區(qū)別。第二類曲面積分再加上方向。

補(bǔ)充: 類比 定積分積分區(qū)域是二維曲線，而第一類曲線積分積分區(qū)域是三維曲線，也是升維or降維的區(qū)別。

這就導(dǎo)致了第一類曲線積分的計(jì)算是將其轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算，而第一類曲面積分的計(jì)算是將其轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算。第一類的都沒有方向，第二類曲線積分和第二類曲面積分引入了方向，有了方向，則在計(jì)算中硬鋼的話會(huì)比較繁瑣，所以第二類積分我們引入了無所不能的。

格林公式:將第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算。高斯公式:將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分計(jì)算。

總結(jié):所以升維or降維這對(duì)逆的關(guān)系是相當(dāng)厲害的，就好像加or減、乘or除、微分or積分、AorA^–1 甚至你可以理解為一種可逆的變換，以后無論是支持向量機(jī)的分類還是預(yù)測(cè)，降維都是灰常牛的存在。因?yàn)榻稻S本身就是復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題的標(biāo)準(zhǔn)方法，什么？你竟然不信！那你肯定沒聽過 底層工作者歌者哼著小曲，不經(jīng)意的向太陽(yáng)系扔了一張二向箔，然后然后 ah。太陽(yáng)系就被拍扁降維了。

第二類曲面積分是什么?

第二類曲面積分是：注意第二類曲面積分向重積分轉(zhuǎn)換過程中曲面的“側(cè)”的影響:前側(cè)為正后側(cè)為負(fù)。

以(z^2-x)dzdx為例, 這實(shí)際上可以歸納為第二類曲面積分的一個(gè)性質(zhì): 如果積分曲面關(guān)于坐標(biāo)面x=0(即YOZ平面)對(duì)稱,而被積函數(shù)為關(guān)于x的偶函數(shù),則該第二類曲面積。

告訴一根線的線密度,問你線的質(zhì)量,就要用一類.告訴路徑曲線方程,告訴你x,y兩個(gè)方向的力,求功,就用二類，二類曲線也可以把x,y分開,這樣就不難理解一二類曲線積分之間的關(guān)系了,它們之間就差一個(gè)余弦比例。

單葉雙曲回轉(zhuǎn)面：

由一直線繞一根與它成交叉位置的軸線旋轉(zhuǎn)而成的回轉(zhuǎn)曲面，稱為單葉雙曲回轉(zhuǎn)面。其母線上距離軸線最近的一點(diǎn)回轉(zhuǎn)形成的最小圓稱為喉圓。用包含軸線的平面截切單葉雙曲回轉(zhuǎn)面，其截交線的形狀為雙曲線，因此，單葉雙曲回轉(zhuǎn)面也可看作是以雙曲線為母線繞它的虛軸回轉(zhuǎn)而成的。