怎么證明正交矩陣 怎么驗證矩陣是正交陣?

證明A是正交矩陣，如何證明正交矩陣的特征值為1或-1？怎么驗證矩陣是正交陣？數(shù)學，線性代數(shù)，矩陣怎么樣才算正交？怎么判斷？能不能舉個例子給我？關(guān)于正交矩陣的證明題，怎么驗證矩陣是正交陣？

本文導航

• 證明A是正交矩陣
• 如何證明正交矩陣的特征值為1或-1
• 怎么驗證矩陣是正交陣？
• 數(shù)學，線性代數(shù)，矩陣怎么樣才算正交？怎么判斷？能不能舉個例子給我。
• 關(guān)于正交矩陣的證明題
• 怎么驗證矩陣是正交陣?

證明A是正交矩陣

根據(jù)正交矩陣的等價定義：A的每個行向量是單位向量且兩兩正交，可以更快地得出證明。

比如取第一行(1/9,-8/9,-4/9)，有(1/9)^2+(-8/9)^2+(-4/9)^2=1。

取第一行(1/9,-8/9,-4/9)跟第二行(-8/9,1/9,-4/9)，有1/9*(-8/9)+(-8/9)*(1/9)+(-4/9)*(-4/9)=0。

如何證明正交矩陣的特征值為1或-1

設λ是正交矩陣A的特征值，x是A的屬于特征值λ的特征向量

即有 Ax = λx，且 x≠0。

兩邊取轉(zhuǎn)置，得 x^TA^T = λx^T

所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx

因為A是正交矩陣，所以 A^TA=E

所以 x^Tx = λ^2x^Tx

由 x≠0 知 x^Tx 是一個非零的數(shù)

故 λ^2=1

所以 λ=1或-1

正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，所以對于復數(shù)的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數(shù)）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。

擴展資料：

在矩陣論中，實數(shù)正交矩陣是方塊矩陣Q，它的轉(zhuǎn)置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為+1，則稱之為特殊正交矩陣。

方陣A正交的充要條件是A的行（列）向量組是單位正交向量組；方陣A正交的充要條件是A的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標準正交基；A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量。

任何正交矩陣的行列式是+1或?1。這可從關(guān)于行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）

對于置換矩陣，行列式是+1還是?1匹配置換是偶還是奇的標志，行列式是行的交替函數(shù)。

比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在復數(shù)上可對角化來展示特征值的完全的集合，它們?nèi)急仨氂?復數(shù))絕對值1。

參考資料來源：百度百科——正交矩陣

怎么驗證矩陣是正交陣？

兩個方法:

1.

用定義

直接計算

AA^T,

若

等于單位矩陣E,

就是正交矩陣

2.

用定理

A是n階正交矩陣的充分必要條件是

A

的列(或行)向量組是R^n的標準正交基.

即列向量的長度都是1,

且兩兩正交.

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數(shù)學，線性代數(shù)，矩陣怎么樣才算正交？怎么判斷？能不能舉個例子給我。

如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。

例如舉一個最簡單的例子

矩陣A：

0

1

1

0

A的轉(zhuǎn)置：

0

1

1

0

此時

AA^T=E，

故A本身是正交矩陣

由于AA^（-1）=E

由逆矩陣定義

若AB=E

則B為A的逆矩陣

可以知道

A^（-1）為A的逆矩陣，也就是說正交矩陣本身必然是可逆矩陣

即若A是正交矩陣則A的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基【即線性不相關(guān)】

關(guān)于正交矩陣的證明題

設b=ata，注意ata為一個數(shù)字。

a為正交矩陣==>aat=e

而aat=(e-kaat)(e-kaat)t

注意到et=e，(aat)t=aat

=(e-kaat)(e-kaat)

=e-2kaat+k^2aataat

注意，中間那個ata為常數(shù)b

=e-2kaat+bk^2aat

=e+(bk^2-2k)aat

此結(jié)果若要等于e，則必須(bk^2-2k)aat=零矩陣，由于aat不是零矩陣，則必須bk^2-2k=0

題目條件k≠0，則bk=2，因此k需滿足k=2/(ata)時，a正交矩陣。

本推導過程可逆，你自己試著倒推。

綜上，a為正交矩陣的充分必要條件為k=2/(ata)

怎么驗證矩陣是正交陣?

兩個方法:

1.用定義

直接計算 AA^T,若 等于單位矩陣E,就是正交矩陣

2.用定理

A是n階正交矩陣的充分必要條件是 A 的列(或行)向量組是R^n的標準正交基.

即列向量的長度都是1,且兩兩正交.