泰勒公式展開式怎么用 如何用泰勒公式展開 看題

怎么用泰勒展開式展開In(1+x？如何用泰勒公式展開 看題？泰勒公式是怎么展開的？或者說展開的計算是怎么得到的？泰勒公式的用法。

本文導(dǎo)航

• 怎么用泰勒展開式展開In(1+x)
• 如何用泰勒公式展開 看題
• 泰勒公式是怎么展開的？或者說展開的計算是怎么得到的？
• 泰勒公式的用法？

怎么用泰勒展開式展開In(1+x)

如圖：（注意“麥克勞林級數(shù)”是“泰勒級數(shù)”的特殊形式，是展開位置為0的泰勒級數(shù)）。

一階導(dǎo)數(shù)，系數(shù)=1/(x+1)=1/(1+x0)。二階導(dǎo)數(shù)，系數(shù)=-1/(1+x)^2=-1/(1+x0)^2

數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。

擴展資料

實際應(yīng)用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數(shù)的有限項的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。

泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下五個方面：

1、冪級數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對比較容易。

2、一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復(fù)平面上的一個開片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。

3、泰勒級數(shù)可以用來近似計算函數(shù)的值，并估計誤差。

4、證明不等式。

5、求待定式的極限。

如何用泰勒公式展開 看題

## 泰勒公式

計算各階導(dǎo)數(shù)后代入泰勒公式即可推導(dǎo)出展開式，熟練了則可直接心算/背出

泰勒公式是怎么展開的？或者說展開的計算是怎么得到的？

這個是在0處展開，所以原泰勒公式中的a

都取0，那么sin展開式中的系數(shù)就變?yōu)?或者1了。

是讓a取0，不是x取0

泰勒公式的用法？

實際應(yīng)用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數(shù)的有限項的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。 泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下五個方面： 冪級數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對比較容易。 一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復(fù)平面上的一個開片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。 泰勒級數(shù)可以用來近似計算函數(shù)的值，并估計誤差。 證明不等式。 求待定式的極限。

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ;

拓展資料

一、中值定理

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，當(dāng)函數(shù) 在點處可導(dǎo)時，在點的鄰域內(nèi)有 ;因為 是一個無窮小量，故有 。這是在對函數(shù)進(jìn)行局部線性化處理時常用的公式之一。從幾何上看，它是用切線來代替曲線的。然而，這樣的近似是比較粗糙的，而且只在點的附近才有近似的意義為了改善上述不足，使得近似替代更加精密，數(shù)學(xué)家們在柯西中值定理的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了泰勒中值定理（泰勒公式） 。

; ; ; ; ; ;

二、公式余項

泰勒公式的余項有兩類：一類是定性的皮亞諾余項，另一類是定量的拉格朗日余項。這兩類余項本質(zhì)相同，但是作用不同。一般來說，當(dāng)不需要定量討論余項時，可用皮亞諾余項（如求未定式極限及估計無窮小階數(shù)等問題）；當(dāng)需要定量討論余項時，要用拉格朗日余項（如利用泰勒公式近似計算函數(shù)值） ;。

; ; ; ; ; ;

三、幾何意義

泰勒公式的幾何意義是利用多項式函數(shù)來逼近原函數(shù)，由于多項式函數(shù)可以任意次求導(dǎo)，易于計算，且便于求解極值或者判斷函數(shù)的性質(zhì)，因此可以通過泰勒公式獲取函數(shù)的信息，同時，對于這種近似，必須提供誤差分析，來提供近似的可靠性。

四、一元公式

一個通用表達(dá)式，根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有，其中誤差是在，即的前提下才趨于0，在近似計算中往往不夠精確。

五、多元公式

除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應(yīng)用也非常廣泛，特別是在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上有著很大的作用 ;。

; ; ; ; ; ;