最大無關(guān)組是什么 向量組的最大線性無關(guān)組唯一嗎

什么是極大無關(guān)組？怎么判別？最大無關(guān)組怎么求？向量組中極大線性無關(guān)組如何找？是如何定義的？線性代數(shù)求最大無關(guān)組，關(guān)于矩陣的最大無關(guān)組，向量組的最大無關(guān)組怎樣確定?怎么判斷?（如R3？

本文導(dǎo)航

• 如何判斷最大無關(guān)組
• 線性代數(shù)求最大無關(guān)組怎么求
• 每一個向量組都有極大無關(guān)組嗎
• 怎么用最大無關(guān)組表示其余向量
• 如何判斷矩陣中的線性無關(guān)組
• 向量組的最大線性無關(guān)組唯一嗎

如何判斷最大無關(guān)組

向量組的極大無關(guān)組滿足2個條件

1. 自身線性無關(guān)

2. 向量組中所有向量可由它線性表示

例題的解法:

構(gòu)造矩陣 (a1,a2,a3,a4), 對它用行變換化成梯矩陣

非零行的首非零元所在的列對應(yīng)的向量就是一個極大無關(guān)組

5 4 1 3

2 1 1 4

-3 -2 -1 -1

1 3 -2 2

我用軟件化成了行簡化梯矩陣(你手工化梯形就行了哈):

1 0 1 0

0 1 -1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

所以極大無關(guān)組是: a1,a2,a4

且 a3 = a1-a2+0a4

線性代數(shù)求最大無關(guān)組怎么求

n個列向量a1,a2,...,an的最大無關(guān)組：

把這n個列向量排在一起，組成一個矩陣，然后用初等行變換將其變成行階梯型。接下來看每行的非零首元所在列就行了。比如非零首元所在列是第1，3，4列，那么最大無關(guān)組就是a1,a3,a4

極大無關(guān)組 就象班里的班長副班長 他們能代表全班 但又缺一不可 呵呵

極大無關(guān)組本身線性無關(guān) ( 無多余向量 缺一不可)

它又能表示向量組中任一向量 (是班里選的代表)

嘻嘻 你琢磨吧

把向量按列構(gòu)成一矩陣

用初等行變換化成行階梯

非零行的首非零元所在的列對應(yīng)的向量即構(gòu)成一個極大無關(guān)組

如向量組 a1,a2,a3,a4

構(gòu)成矩陣 (a1,a2,a3,a4)

化成

1 2 3 4

0 0 2 4

0 0 0 5

則極大無關(guān)組就是 a1,a3,a4

每一個向量組都有極大無關(guān)組嗎

極大線性無關(guān)組（maximal linearly independent system）是線性空間的基對向量集的推廣。其定義為：設(shè)S是一個n維向量組，α1,α2,...αr 是S的一個部分組，如果滿足(1) α1,α2,...αr 線性無關(guān)；(2) 向量組S中每一個向量均可由此部分組線性表示，那么α1,α2,...αr 稱為向量組S的一個極大線性無關(guān)組，或極大無關(guān)組。

基本性質(zhì)：

（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組；（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身；（3）極大線性無關(guān)組對于每個向量組來說并不唯一，但是每個向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量；（4）齊次方程組的解向量的極大無關(guān)組為基礎(chǔ)解系。（5）任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。（6）一向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都是等價的。（7）若一個向量組中的每個向量都能用另一個向量組中的向量線性表出，則前者極大線性無關(guān)向量組的向量個數(shù)小于或等于后者。

擴(kuò)展資料：

相關(guān)定理：

極大線性無關(guān)組定理 1：

設(shè)a1,a2,…,ar與b1,b2,…,bs是兩個向量組，如果

（1）向量組a1,a2,…,ar可以經(jīng)b1,b2,…,bs線性表出。（2）r>s；那么向量組a1,a2,…,ar必線性相關(guān)。

極大線性無關(guān)組定理 2：

一向量組的極大線性無關(guān)組都含有向量的個數(shù)相同。

極大線性無關(guān)組定理 3：

一向量組線性無關(guān)的充分必要條件是，它的秩與它所含向量的個數(shù)相同。

極大線性無關(guān)組推論 1：

如果向量組a1,a2,…,ar可以經(jīng)b1,b2,…,bs線性表出，且a1,a2,…,ar線性無關(guān)，那么r≤s。

極大線性無關(guān)組推論 2：

任意n+1個n維向量必線性相關(guān)。

極大線性無關(guān)組推論 3：

兩個線性無關(guān)的等價向量組，必含有相同個數(shù)的向量。

極大線性無關(guān)組推論 4：

等價的向量組必有相同的秩。

怎么用最大無關(guān)組表示其余向量

算出a、b之后，可以把A化簡得到以下結(jié)果：

這里找極大線性無關(guān)組，可以采用畫階梯的方法，圖中已經(jīng)標(biāo)出來了。然后在每個臺階上上找一個向量，最后組成的向量組就是極大線性無關(guān)組。這里第一個臺階上找一個，只有α1；第二個臺階上找一個，α2、α3、α4三個里面任意找一個均可。

所以最后極大線性無關(guān)組可以是：α1,α2，或α1,α3，或α1,α4。

線性代數(shù)重要定理

每一個線性空間都有一個基。

對一個;n;行;n;列的非零矩陣;A，如果存在一個矩陣;B;使;AB;=;BA;=E（E是單位矩陣），則;A;為非奇異矩陣（或稱可逆矩陣），B為A的逆陣。

矩陣非奇異（可逆）當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為零。

矩陣非奇異當(dāng)且僅當(dāng)它代表的線性變換是個自同構(gòu)。

矩陣半正定當(dāng)且僅當(dāng)它的每個特征值大于或等于零。

矩陣正定當(dāng)且僅當(dāng)它的每個特征值都大于零。

如何判斷矩陣中的線性無關(guān)組

不是的

給你個反例

a1=(1,0,0,0),

a2=(0,1,0,0),

a3=(0,0,1,0),

a4=(0,0,0,0)

這4個向量滿足你的假設(shè)條件.

可以看出:

反是含a4的部分組都線性相關(guān),

而a1,a2,a3線性無關(guān)

秩為2時

是同樣的道理

向量組的最大線性無關(guān)組唯一嗎

(a1,a2,a3,a4) 經(jīng)初等行變換化為梯矩陣

非零行的首非零元所在列對應(yīng)的向量,即構(gòu)成一個極大無關(guān)組

如 (a1,a2,a3,a4,a5) 化為

1 2 3 4 5

0 0 6 7 8

0 0 0 0 9

0 0 0 0 0

a1,a3,a5 為一個極大無關(guān)組