什么函數(shù)一定無原函數(shù) 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)
一個(gè)函數(shù)可以沒有原函數(shù)嗎?什么情況下沒有?舉例謝謝?什么樣的函數(shù)可積但是沒有原函數(shù)?請(qǐng)問為什么包含可去間斷點(diǎn)的函數(shù)沒有原函數(shù)?
本文導(dǎo)航
一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)
可以沒有原函數(shù) 例如 第李克雷函數(shù)如果函數(shù)連續(xù) 則必有原函數(shù) 但不一定是初等函數(shù)說說一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否唯一
原函數(shù)都存在,但不一定能用初等函數(shù)表示。
若原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示,習(xí)慣上被稱為不可積。
例如 ∫(sinx/x)dx, ∫sin(x^2)dx, ∫e^(-x^2)dx 等。
函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型判斷
根據(jù)函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)得其逆否命題:不連續(xù)則不可導(dǎo),所以含有間斷點(diǎn)的函數(shù)沒有原函數(shù),即包含可去間斷點(diǎn)的函數(shù)沒有原函數(shù)。
在微積分中,一個(gè)函數(shù)f 的不定積分,或原函數(shù),或反導(dǎo)數(shù),是一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于f 的函數(shù) F ,即F ′
= f。
連續(xù)函數(shù),一定存在定積分和不定積分;若在有限區(qū)間[a,b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且函數(shù)有界,則定積分存在;若有跳躍、可去、無窮間斷點(diǎn),則原函數(shù)一定不存在,即不定積分一定不存在。
若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù),則f(x)在該區(qū)間內(nèi)必存在原函數(shù),這是一個(gè)充分而不必要條件,也稱為“原函數(shù)存在定理”。
擴(kuò)展資料:
函數(shù)族F(x)+C(C為任一個(gè)常數(shù))中的任一個(gè)函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù),故若函數(shù)f(x)有原函數(shù),那么其原函數(shù)為無窮多個(gè)。
例如:x3是3x2的一個(gè)原函數(shù),易知,x3+1和x3+2也都是3x2的原函數(shù)。因此,一個(gè)函數(shù)如果有一個(gè)原函數(shù),就有許許多多原函數(shù),原函數(shù)概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來的。
例如:已知作直線運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻t的速度為v=v(t),要求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律
,就是求v=v(t)的原函數(shù)。原函數(shù)的存在問題是微積分學(xué)的基本理論問題,當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)時(shí),其原函數(shù)一定存在。
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