矩陣特征值怎么理解 如何理解矩陣特征值
如何理解矩陣特征值？如何理解矩陣特征值？如何理解矩陣特征值？
本文導航
如何理解矩陣特征值
首先需要了解的是方陣A的特征值的求法：f(λ)=|λE-A|=0的根。
矩陣的特征值與其對應的特征向量還有矩陣的不變因子都是屬于矩陣的一個不變量，是我們了解矩陣的一個重要結果。建議你查看一下高等代數(shù)λ—矩陣不變因子章節(jié)。
矩陣的特征值是對應的Aξ=λξ（ξ為λ對應下的特征向量），這有點類似于函數(shù)不動點的性質(zhì)（使得g（x）=x的x稱為其不動點）
如何理解矩陣特征值
1.定義：若矩陣A乘上某個非零向量α等于一個實數(shù)λ乘上該向量，即Aα=λα，則稱λ為該矩陣的特征值，α為屬于特征值λ的一個特征向量。
2.求矩陣A的特征值及特征向量的步驟：
（1）寫出行列式|λE-A|；
（2）|λE-A|求＝0的全部根，它們就是A的全部特征值，其中E為單位矩陣；
（3）對于矩陣A的每一個特征值λ，求出齊次線性方程組(λE-A)X=0的一個基礎解系，則可以得到屬于特征值λ的特征向量。
3.特征值的作用和意義體現(xiàn)在用矩陣進行列向量的高次變換也就是矩陣的高次方乘以列向量的計算中。數(shù)學中的很多變換可以用矩陣的乘法來表示，在這樣的變換中，一個列向量（點）α變成另一個列向量（點）β的過程可以看成是一個矩陣A乘以α得到β，即Aα=β，如果把同樣的變換連續(xù)的重復的做n次則需要用矩陣高次方來計算：A^n·α，如果沒有特征值和特征向量，此處就要計算矩陣A的n次方，這個運算量隨著n的增加，變得越來越大，很不方便。而利用特征值和特征向量，可以達到簡化計算的目的：設A特征值分別為λ1,λ2,------λk，對應的特征向量分別為α1,α2,------αk，且α可以分解為α=x1·α1+x2·α2+---+xk·αk，
則A^n·α=A^n·（x1·α1+x2·α2+---+xk·αk）
=A^n·x1·α1+A^n·x2·α2+---+A^n·xk·αk
=x1A^n·α1+x2A^n·α2+---+xkA^n·αk
=x1(λ1)^n·α1+x2(λ2)^n·α2+---+xk(λk)^n·αk.
這樣就將矩陣的n次方的運算變成了特征值的n次方的運算。
矩陣特征值的個數(shù)怎么求
如下：
設 A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量;x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是矩陣A的一個特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
矩陣特征值性質(zhì)：
性質(zhì)1：若λ是可逆陣A的一個特征根，x為對應的特征向量，則1/λ 是A的逆的一個特征根，x仍為對應的特征向量。
性質(zhì)2：若 λ是方陣A的一個特征根，x為對應的特征向量，則λ 的m次方是A的m次方的一個特征根，x仍為對應的特征向量。
