高考的值域 高中數(shù)學值域的解題方法

高中函數(shù)值域的求法，最近幾年高考數(shù)學中求值域解決方法？，高中高中數(shù)學第一輪復習函數(shù)的值域求法專題課件，怎樣求函數(shù)值域？

本文導航

• 高一函數(shù)怎么求值域
• 高中數(shù)學值域的解題方法
• 高中數(shù)學函數(shù)新一輪復習
• 函數(shù)求值域八種方法

高一函數(shù)怎么求值域

函數(shù)值域求法十一種

在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對應法則共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對應法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對于如何求函數(shù)的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。

1. 直接觀察法

對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。

例1. 求函數(shù) 的值域。

解：∵

∴

顯然函數(shù)的值域是：

例2. 求函數(shù) 的值域。

解：∵

故函數(shù)的值域是：

2. 配方法

配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

例3. 求函數(shù) 的值域。

解：將函數(shù)配方得：

∵

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當x=1時， ，當 時，

故函數(shù)的值域是：[4，8]

3. 判別式法

例4. 求函數(shù) 的值域。

解：原函數(shù)化為關于x的一元二次方程

（1）當 時，

解得：

（2）當y=1時， ，而

故函數(shù)的值域為

例5. 求函數(shù) 的值域。

解：兩邊平方整理得： （1）

∵

∴

解得：

但此時的函數(shù)的定義域由 ，得

由 ，僅保證關于x的方程： 在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為 。

可以采取如下方法進一步確定原函數(shù)的值域。

∵

代入方程（1）

解得：

即當 時，

原函數(shù)的值域為：

注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。

4. 反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。

例6. 求函數(shù) 值域。

解：由原函數(shù)式可得：

則其反函數(shù)為： ，其定義域為：

故所求函數(shù)的值域為：

5. 函數(shù)有界性法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。

例7. 求函數(shù) 的值域。

解：由原函數(shù)式可得：

∵

∴

解得：

故所求函數(shù)的值域為

例8. 求函數(shù) 的值域。

解：由原函數(shù)式可得： ，可化為：

即

∵

∴

即

解得：

故函數(shù)的值域為

6. 函數(shù)單調(diào)性法

例9. 求函數(shù) 的值域。

解：令

則 在[2，10]上都是增函數(shù)

所以 在[2，10]上是增函數(shù)

當x=2時，

當x=10時，

故所求函數(shù)的值域為：

例10. 求函數(shù) 的值域。

解：原函數(shù)可化為：

令 ，顯然 在 上為無上界的增函數(shù)

所以 ， 在 上也為無上界的增函數(shù)

所以當x=1時， 有最小值 ，原函數(shù)有最大值

顯然 ，故原函數(shù)的值域為

7. 換元法

通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。

例11. 求函數(shù) 的值域。

解：令 ，

則

∵

又 ，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知

當 時，

當 時，

故函數(shù)的值域為

例12. 求函數(shù) 的值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函數(shù)的值域為

例13. 求函數(shù) 的值域。

解：原函數(shù)可變形為：

可令 ，則有

當 時，

當 時，

而此時 有意義。

故所求函數(shù)的值域為

例14. 求函數(shù) ， 的值域。

解：

令 ，則

由

且

可得：

∴當 時， ，當 時，

故所求函數(shù)的值域為 。

例15. 求函數(shù) 的值域。

解：由 ，可得

故可令

∵

當 時，

當 時，

故所求函數(shù)的值域為：

8. 數(shù)形結(jié)合法

其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。

例16. 求函數(shù) 的值域。

解：原函數(shù)可化簡得：

上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2）， 間的距離之和。

由上圖可知，當點P在線段AB上時，

當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，

故所求函數(shù)的值域為：

例17. 求函數(shù) 的值域。

解：原函數(shù)可變形為：

上式可看成x軸上的點 到兩定點 的距離之和，

由圖可知當點P為線段與x軸的交點時， ，

故所求函數(shù)的值域為

例18. 求函數(shù) 的值域。

解：將函數(shù)變形為：

上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點 到點 的距離之差。

即：

由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點 ，則構(gòu)成 ，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有

即：

（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有

綜上所述，可知函數(shù)的值域為：

注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè)。

如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3，2）， ，在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點坐標分別為（3，2）， ，在x軸的同側(cè)。

9. 不等式法

利用基本不等式 ，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。

例19. 求函數(shù) 的值域。

解：原函數(shù)變形為：

當且僅當

即當 時 ，等號成立

故原函數(shù)的值域為：

例20. 求函數(shù) 的值域。

解：

當且僅當 ，即當 時，等號成立。

由 可得：

故原函數(shù)的值域為：

10. 一一映射法

原理：因為 在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。

例21. 求函數(shù) 的值域。

解：∵定義域為

由 得

故 或

解得

故函數(shù)的值域為

11. 多種方法綜合運用

例22. 求函數(shù) 的值域。

解：令 ，則

（1）當 時， ，當且僅當t=1，即 時取等號，所以

（2）當t=0時，y=0。

綜上所述，函數(shù)的值域為：

注：先換元，后用不等式法

例23. 求函數(shù) 的值域。

解：

令 ，則

∴當 時，

當 時，

此時 都存在，故函數(shù)的值域為

注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運用 的有界性。

總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

高中數(shù)學值域的解題方法

高考中求值域的題目一般都是填空前5題、填空最后兩題與大題目后兩題中出現(xiàn)，

簡單的求值域你就根據(jù)數(shù)形結(jié)合就能出來，難的值域問題基本在壓軸題中出現(xiàn)，

填空后兩題求值域幾率較大，

我個人比較推薦求導，在能求導的范圍里求導做基本是萬能的，不過計算較繁瑣，容易算錯

大題目后兩題中值域問題基本都是附帶的，不會把求值域作為主要問題，

大題目后兩題考求導幾率不怎么大，因為會涉及到復合函數(shù)求導，文科是不學的

大題目值域問題一般根據(jù)數(shù)形結(jié)合解決的，考慮的因素較多，容易遺漏

個人觀點，花這么多時間做填空大題目后兩題是不怎么明智的，與其花這么多時間去做還不如確保前面簡單的都做對、當然數(shù)學極為優(yōu)秀的可以忽略我的個人觀點

高中數(shù)學函數(shù)新一輪復習

一、函數(shù)的概念和表示函數(shù)的概念是高中數(shù)學中十分重要的概念之一，加深對函數(shù)的理解，對學好函數(shù)后續(xù)知識十分有幫助。對于函數(shù)的表示方法，也要掌握好，因為學習函數(shù)知識經(jīng)常用到函數(shù)的表示方法。對于分段函數(shù)解析式的求法是難點，常用解法是先求出定義域在不同子區(qū)間上的解析表達式，然后進行合并。例1 已知 ，求f(x)。解：因為 ，所以 ，即 點評：通過觀察、分析，將右端“ ”變?yōu)椤?”的表達式，這種解法對變形能力有一定的要求。解題中易忽視 的定義域應為 中“ ”的值域。二、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它對了解函數(shù)的其他各種信息十分有用。同時，利用函數(shù)的單調(diào)性解題也是一種重要的方法。例2 已知函數(shù) （a為正數(shù)），且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交y軸于同一點。（1）求a的值。（2）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間。解：（1）由題意知， ，則 ，所以a＝1。（2） 當 時， ，它在區(qū)間 上單調(diào)遞增；當 時， ，它在區(qū)間 上單調(diào)遞增?！嗪瘮?shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 。點評：如果一個函數(shù)的解析式含有絕對值符號，則這個函數(shù)可化為分段函數(shù)。其常用解法是把各分段上的函數(shù)看做獨立函數(shù)，分別求出它們的單調(diào)區(qū)間，然后再整合到一起，但要注意分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要在其定義域內(nèi)。三、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)是高中數(shù)學中最常見、最重要的函數(shù)之一，對二次函數(shù)圖象上下左右平移，二次函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和最大（小）值問題，要熟練掌握。例3 已知函數(shù) （1）當 時，求函數(shù)f(x)的最值。（2）求實數(shù)a的取值范圍，使 在區(qū)間〔－5，5〕上是單調(diào)函數(shù)。解：（1） ，因為 ，所以當x＝1時， x＝－5時， （2） ，函數(shù)f(x)的對稱軸為 ，要使f(x)在區(qū)間〔－5，5〕上是單調(diào)函數(shù)，所以 ，故a的取值范圍為 點評：借助二次函數(shù)圖象的直觀性來判斷函數(shù)的最值時，需要確定二次函數(shù)的開口方向及對稱軸是否落在區(qū)間內(nèi)。四、函數(shù)知識在解應用題中的作用解函數(shù)應用題一般分為如下四個步驟：①審題：弄清題意，分析條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系；②建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；③求解：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；④還原：將得出的結(jié)論，還原為實際問題的意義，即作答。一、給出函數(shù) 解析式求其定義域，一般是先列出限制條件的不等式（組），再進行求解。 例1. 求下列函數(shù)的定義域：（1） ；（2） 。解：（1）要使函數(shù)有意義，x需滿足 ，解得 。 此函數(shù)的定義域為 。（2）要使函數(shù)有意義，x需滿足 ，即有 ，解得 ，或 。 此函數(shù)的定義域是 。二. 給出函數(shù) 的定義域，求函數(shù) 的定義域，其解法步驟是：若已知函數(shù) 的定義域為 ，則其復合函數(shù) 的定義域應由不等式 解得。 例2. 設函數(shù) 的定義域為 ，給出下列函數(shù)： ， ，其定義域仍是A的有（ ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個解：由 ，得 。由 。由 ，得 。由 ，得 。故選B。 例3. 已知函數(shù) 的定義域為（0，1），則函數(shù) 的定義域是________。解：函數(shù) 的定義域為（0，1），即 。 。 函數(shù) 的定義域為（2，4）。三. 給出 的定義域，求 的定義域，其解法步驟是：若已知 的定義域為 ，則 的定義域是 在 時的取值范圍。 例4. 已知函數(shù) 的定義域為（0，1），則函數(shù) 的定義域是________。解：函數(shù) 的定義域為（0，1），即在 。令 ，于是 中， 。 函數(shù) 的定義域為（4，6）。 例5. 函數(shù) 的定義域為 ，則函數(shù) 的定義域是（ ）A. B. C. D. 解：函數(shù) 的定義域為 ，即 。 ，即函數(shù) 的定義域是 。由 ，得 。 函數(shù) 的定義域為 ，應選A。說明：本題還多了一個層次，即由函數(shù) 的定義域求出原函數(shù) 的定義域，然后求出函數(shù) 的定義域。求函數(shù)值域是高考的熱點，同時也是大家學習中的一個難點，在求函數(shù)值域時本人總結(jié)以下八種方法，供大家參考。方法一：觀察法 例1. 求函數(shù) 的值域。解析：由 。故此函數(shù)值域為 。評注：此方法適用于解答選擇題和填空題。方法二：不等式法 例2. 求函數(shù) 的值域。解析： ， 此函數(shù)值域為 。評注：此方法在解答綜合題時可屢建奇功！方法三：反函數(shù)法 例3. 求函數(shù) 的值域。解析：由 得 。由 ，得 ，解得 。 此函數(shù)值域為 。評注：此方法適用范圍比較狹窄，最適用于x為一次的情形。方法四：分離常數(shù)法 例4. 求函數(shù) 的值域。解析：： 。從而易知此函數(shù)值域為 。評注：此題先分離常數(shù)，再利用不等式法求解。注意形如 的值域為 。方法五：判別式法 例5. 求函數(shù) 的值域。解析：原式整理可得 。當 即 時， 原式成立。當 即 時， ，解得 。綜上可得原函數(shù)值域為 。評注：此方法適用于x為二次的情形，但應注意 時的情況。方法六：圖象法 例6. 求函數(shù) 的值域。解析：作出此函數(shù)的圖象，如下圖所示?？芍撕瘮?shù)值域為 。評注：此方法最適用于選擇題和填空題，畫出函數(shù)的草圖，問題會變得直觀明了。方法七：中間變量法例7. 求函數(shù) 的值域。解析：由上式易得 。由 。故此函數(shù)值域為 。評注：此方法適用范圍極其狹窄，需要靈活掌握。方法八：配方法 例8. 求函數(shù) 的值域。解析：因為 ，故此函數(shù)值域為 。評注：此方法需要靈活掌握，常?？梢赃_到意想不到的效果。函數(shù)是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，反函數(shù)又是函數(shù)的重要組成部分，也是同學們學習函數(shù)的難點之一。反函數(shù)在歷年高考中也占有一定的比例。為了幫助同學們更好地掌握反函數(shù)相關的內(nèi)容，對反函數(shù)的性質(zhì)作如下歸納。 性質(zhì)1 原函數(shù)的定義域、值域分別是反函數(shù)的值域、定義域 在求原函數(shù)的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域、值域的有關問題時，如能充分利用這條性質(zhì)，將對解題有很大幫助。 例1. 函數(shù) 的反函數(shù)是（ ）。 A. B. C. D. 解析：這是一個分段函數(shù)，對分段函數(shù)求反函數(shù)要注意分段求解。由函數(shù)解析式可知當 時， ； 時 。由性質(zhì)1，可知原函數(shù)的反函數(shù)在 時， ，則根式前面要有負號，故可排除A、B兩項，再比較C、D，易得答案為C。例2. 若函數(shù) 為函數(shù) 的反函數(shù)，則 的值域為__________。解析：常規(guī)方法是先求出 的反函數(shù) ，再求得 的值域為 。如利用性質(zhì)1， 的值域即 的定義域，可得 的值域為 。性質(zhì)2 若 是函數(shù) 的反函數(shù)，則有 。從整個函數(shù)圖象來考慮，是指 與其反函數(shù) 的圖象關于直線 對稱；從圖象上的點來說，是指若原函數(shù)過點 ，則其反函數(shù)必過點 。反函數(shù)中的這條性質(zhì)，別看貌不驚人，在解題中卻有著廣泛的應用。例3. 函數(shù) 的反函數(shù) 的圖象與 軸交于點P（0，2），如下圖所示，則方程 在[1，4]上的根是 （ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解析：利用互為反函數(shù)的圖象關于直線 對稱， 的圖象與 軸交于點P（0，2），可得原函數(shù) 的圖象與 軸交于點（2，0），即 ，所以 的根為 ，應選C。例4. 設函數(shù) 的圖象關于點（1，2）對稱，且存在反函數(shù) ， =0，則 =_________。解析：由 =0，可知函數(shù) 的圖象過點（4，0），而點（4，0）關于點（1，2）的對稱點為（ ，4）。由題意知點（ ，4）也在函數(shù) 的圖象上，即有 ，根據(jù)性質(zhì)2，可得 。性質(zhì)3 單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性一致。在定義域上的單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但在定義域上非單調(diào)函數(shù)未必沒有反函數(shù)，或者說有反函數(shù)的原函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)。如函數(shù) 有反函數(shù)，但其在定義域上不是單調(diào)函數(shù)。例5 函數(shù) = 在區(qū)間 上存在反函數(shù)的充要條件是（ ）A. B. C. D. 解析：因為二次函數(shù) 不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的子區(qū)間 或 上是單調(diào)函數(shù)，而已知函數(shù) 在區(qū)間 上存在反函數(shù)，所以 或者 ，即 或 ，應選C。例6. 已知 是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且有 ，試證明 。證明：（反證法）假設存在 ，使得 。∵ 是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴由性質(zhì)3知， 也是R上的單調(diào)遞增函數(shù)。若 ，則 ，即 ，矛盾。同理，當 時，也可推出矛盾，故假設不成立，則 。性質(zhì)4 若 是 的反函數(shù)，則 的反函數(shù)為 ， 的反函數(shù)為 。證明：假設 的反函數(shù)為 ，若 ，則 ，即 ，得 。也就是說原函數(shù)向左平移a個單位，則反函數(shù)向下平移a個單位，其他情況可同理證明。例7. 設 ，函數(shù) 的圖象與 的圖象關于直線 對稱，求 的值。解析：∵函數(shù) 的圖象與 的圖象關于直線 對稱?！?與 互為反函數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4， 的反函數(shù)為 。∴ ，得 。例8. 設定義域為R的函數(shù) 、 都有反函數(shù)，并且函數(shù) 和 的圖象關于直線 對稱，若 ，求 的值。 解析：由已知條件可知 與 互為反函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)4， 的反函數(shù)為 ，可得 。

函數(shù)求值域八種方法

求值域

de

關鍵是先找出函數(shù)的定義域。

有界函數(shù)還是無界函數(shù)

三角函數(shù)還是多項式

線性多項式，二次多項式，三次多項式，高次多項式

找到定義域后，把定義域邊界值代入函數(shù)，計算y值,y值的范圍就是值域。

如果你是大學生：

計算一階導數(shù)和二階導數(shù)，找出曲線反彎點，判斷極大極小，求出y。